ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = x³, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{2}{3}$.

б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = x³, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $\frac{27}{8}$.

Составить уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, отсекающей от осей координат треугольник заданной площади:

а) $f(x) = x^3, \; x > 0$;
Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = a^3$;
$f'(a) = (x^3)’ = 3x^2 = 3a^2$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = a^3 + 3a^2 \cdot (x — a)$;
$y = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3$;

Абсцисса точки пересечения прямой и оси $x$:
$3a^2x — 2a^3 = 0$;
$3x — 2a = 0$;
$3x = 2a$;
$x = \frac{2a}{3}$;

Ордината точки пересечения прямой и оси $y$:
$y(0) = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3$;

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{2}{3}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{2a}{3} \right| \cdot |-2a^3| = \left| -\frac{2a^4}{3} \right| = \frac{2a^4}{3} = \frac{2}{3}$;
$2a^4 = 2$;
$a^4 = 1$;
$a = +\sqrt[4]{1} = 1$;
$y = 3x \cdot 1^2 — 2 \cdot 1^3 = 3x — 2$;
Ответ: $y = 3x — 2$.

б) $f(x) = x^3, \; x < 0$;
Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = a^3$;
$f'(a) = (x^3)’ = 3x^2 = 3a^2$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = a^3 + 3a^2 \cdot (x — a)$;
$y = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3$;

Абсцисса точки пересечения прямой и оси $x$:
$3a^2x — 2a^3 = 0$;
$3x — 2a = 0$;
$3x = 2a$;
$x = \frac{2a}{3}$;

Ордината точки пересечения прямой и оси $y$:
$y(0) = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3$;

Площадь отсекаемого треугольника равна $\frac{27}{8}$:
$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{2a}{3} \right| \cdot |-2a^3| = \left| -\frac{2a^4}{3} \right| = \frac{2a^4}{3} = \frac{27}{8}$;
$8 \cdot 2a^4 = 27 \cdot 3$;
$16a^4 = 81$;
$a^4 = \frac{81}{16}$;
$a = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{3}{2}$;
$y = 3x \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 — 2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$;
Ответ: $y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$.

Составить уравнение касательной к графику функции

$$y = f(x)$$

таким образом, чтобы эта касательная отсекала от осей координат треугольник заданной площади.

а) $f(x) = x^3$, область: $x > 0$

Шаг 1. Обозначим точку касания

Пусть касательная проводится в точке $x = a$, где $a > 0$ (по условию $x > 0$).
Тогда:

$$f(a) = a^3$$

Шаг 2. Найдём производную функции

$$f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 \Rightarrow f'(a) = 3a^2$$

Шаг 3. Уравнение касательной к графику в точке $x = a$

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = a^3 + 3a^2(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3$$

Шаг 4. Найдём точки пересечения касательной с осями координат

Точка пересечения с осью $x$:

Подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$$0 = 3a^2x — 2a^3 \Rightarrow 3a^2x = 2a^3 \Rightarrow x = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a}{3}$$

Точка пересечения с осью $y$:

Подставим $x = 0$:

$$y = 3a^2 \cdot 0 — 2a^3 = -2a^3$$

Шаг 5. Площадь треугольника, отсекаемого касательной от осей

Треугольник с вершинами на осях $x$ и $y$ имеет основание и высоту, равные по модулю координатам точек пересечения.

• Основание (по оси $x$) = $\left| \frac{2a}{3} \right|$
• Высота (по оси $y$) = $|-2a^3|$

Формула площади:

$$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{2a}{3} \right| \cdot |-2a^3| = \frac{1}{2} \cdot \frac{2a}{3} \cdot 2a^3 = \frac{4a^4}{6} = \frac{2a^4}{3}$$

По условию:

$$\frac{2a^4}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow a^4 = 1 \Rightarrow a = \sqrt[4]{1} = 1 \quad (\text{так как } a > 0)$$

Шаг 6. Подставим $a = 1$ в уравнение касательной

$$y = 3a^2x — 2a^3 = 3 \cdot 1^2 \cdot x — 2 \cdot 1^3 = 3x — 2$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{y = 3x — 2}$$

б) $f(x) = x^3$, область: $x < 0$

Шаг 1. Пусть касательная проводится в точке $x = a$, где $a < 0$

Тогда:

$$f(a) = a^3, \quad f'(a) = 3a^2$$

Шаг 2. Уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = a^3 + 3a^2(x — a) = a^3 + 3a^2x — 3a^3 = 3a^2x — 2a^3$$

Шаг 3. Найдём точки пересечения касательной с осями координат

Пересечение с осью $x$:

Положим $y = 0$:

$$0 = 3a^2x — 2a^3 \Rightarrow x = \frac{2a}{3}$$

Пересечение с осью $y$:

Положим $x = 0$:

$$y = -2a^3$$

Шаг 4. Площадь треугольника

$$S = \frac{1}{2} \cdot \left| \frac{2a}{3} \right| \cdot |-2a^3| = \frac{2a^4}{3}$$

По условию:

$$\frac{2a^4}{3} = \frac{27}{8} \Rightarrow 2a^4 = \frac{27}{8} \cdot 3 = \frac{81}{8} \Rightarrow a^4 = \frac{81}{16} \Rightarrow a = -\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = -\frac{3}{2} \quad (\text{т.к. } a < 0)$$

Шаг 5. Подставим $a = -\frac{3}{2}$ в уравнение касательной

Найдём $3a^2$:

$$3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2 = 3 \cdot \frac{9}{4} = \frac{27}{4}$$

Найдём $-2a^3$:

$$a^3 = \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -\frac{27}{8} \Rightarrow -2a^3 = -2 \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{27}{4}$$

Итак:

$$y = \frac{27}{4}x + \frac{27}{4}$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{{\displaystyle y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}}}$$