ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) На оси y взята точка В, из неё проведены касательные к графику функции у = $f(x) = 3 — \frac{1}{2}x^2$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол 90. Найдите координаты точки В.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = $\mathrm{0,5}{x}^2-\mathrm{2,5}$, которые пересекаются под углом 90 в точке, лежащей на оси у.

На оси $y$ взята точка $B$, касательные, проведённые к графику функции $y = f(x)$, пересекаются в этой точке под углом 90°;

а) $f(x) = 3 — \frac{1}{2}x^2$;

Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = 3 — \frac{1}{2}a^2$;

$f'(a) = (3)’ — \frac{1}{2}(x^2)’ = 0 — \frac{1}{2} \cdot 2x = -x = -a$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 3 — \frac{1}{2}a^2 — a(x — a)$;
$y = 3 — \frac{1}{2}a^2 — ax + a^2 = 0{,}5a^2 + 3 — ax$;
$k = -a$;

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$:
$0{,}5a_1^2 + 3 — a_1 \cdot 0 = 0{,}5a_2^2 + 3 — a_2 \cdot 0$;
$0{,}5a_1^2 + 3 = 0{,}5a_2^2 + 3$;
$a_1^2 = a_2^2$;
$a_1 = \pm a_2$;

Прямые пересекаются под углом 90°:

$$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 \cdot k_2} = \tan 90^\circ$$ $$\frac{-a_1 + a_2}{1 + a_1 a_2} \in \varnothing$$ $$1 + a_1 a_2 = 0$$

Подставим значение $a_2$:
$1 — a_2 \cdot a_2 = 0$;
$a_2^2 = 1$;
$a_2 = \pm \sqrt{1} = \pm 1$;
$a_1 = -(\pm 1) = \mp 1$;

Координаты точки пересечения оси $y$:
$y(0) = 0{,}5 \cdot (\pm 1)^2 + 3 — (\pm 1) \cdot 0 = 0{,}5 + 3 = 3{,}5$;
Ответ: $B(0; 3{,}5)$.

б) $f(x) = 0{,}5x^2 — 2{,}5$;

Пусть $x = a$ — точка касания, тогда:
$f(a) = 0{,}5a^2 — 2{,}5$;
$f'(a) = 0{,}5(x^2)’ — (2{,}5)’ = 0{,}5 \cdot 2x — 0 = x = a$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 0{,}5a^2 — 2{,}5 + a(x — a)$;
$y = 0{,}5a^2 — 2{,}5 + ax — a^2 = ax — 2{,}5 — 0{,}5a^2$;
$k = a$;

Прямые пересекаются в точке, лежащей на оси $y$:
$a_1 \cdot 0 — 2{,}5 — 0{,}5a_1^2 = a_2 \cdot 0 — 2{,}5 — 0{,}5a_2^2$;
$2{,}5 + 0{,}5a_1^2 = 2{,}5 + 0{,}5a_2^2$;
$a_1^2 = a_2^2$;
$a_1 = \pm a_2$;

Прямые пересекаются под углом 90°:

$$\frac{k_1 — k_2}{1 + k_1 \cdot k_2} = \tan 90^\circ$$ $$\frac{a_1 — a_2}{1 + a_1 a_2} \in \varnothing$$ $$1 + a_1 a_2 = 0$$

Подставим значение $a_2$:
$1 — a_2 \cdot a_2 = 0$;
$a_2^2 = 1$;
$a_2 = \pm \sqrt{1} = \pm 1$;
$a_1 = -(\pm 1) = \mp 1$;

Уравнения касательных:

$$y_1 = -1 \cdot x — 2{,}5 — 0{,}5 \cdot (-1)^2 = -x — 2{,}5 — 0{,}5 = -x — 3$$ $$y_2 = 1 \cdot x — 2{,}5 — 0{,}5 \cdot 1^2 = x — 2{,}5 — 0{,}5 = x — 3$$

Ответ: $$$y = -x — 3$; $$$y = x — 3$.

Если две прямые пересекаются под углом 90°, то их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ удовлетворяют условию:

$$k_1 \cdot k_2 = -1$$

Это условие перпендикулярности двух прямых.

а) $f(x) = 3 — \frac{1}{2}x^2$

Шаг 1. Обозначим точку касания

Пусть касательные проведены в точках $x = a_1$ и $x = a_2$ графика функции. Значит, у нас есть две точки касания:

$$A_1 = (a_1, f(a_1)), \quad A_2 = (a_2, f(a_2))$$

Шаг 2. Найдём производную функции $f(x)$

$$f(x) = 3 — \frac{1}{2}x^2 \Rightarrow f'(x) = 0 — \frac{1}{2} \cdot 2x = -x$$

Таким образом:

$$f'(a) = -a$$

Шаг 3. Составим уравнение касательной к графику в точке $x = a$

Формула касательной:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Подставим:

$$y = \left(3 — \frac{1}{2}a^2\right) + (-a)(x — a) = 3 — \frac{1}{2}a^2 — a(x — a)$$

Раскроем скобки:

$$y = 3 — \frac{1}{2}a^2 — ax + a^2 = -ax + \frac{1}{2}a^2 + 3$$

Шаг 4. Пусть обе касательные пересекаются на оси $y$

Точка пересечения имеет координаты $(0; y_0)$. Подставим $x = 0$ в уравнения обеих касательных.

Для точки $a_1$:

$$y_1 = -a_1 \cdot 0 + \frac{1}{2}a_1^2 + 3 = \frac{1}{2}a_1^2 + 3$$

Для точки $a_2$:

$$y_2 = -a_2 \cdot 0 + \frac{1}{2}a_2^2 + 3 = \frac{1}{2}a_2^2 + 3$$

Так как точка одна и та же (пересечение касательных), приравниваем:

$$\frac{1}{2}a_1^2 + 3 = \frac{1}{2}a_2^2 + 3 \Rightarrow a_1^2 = a_2^2 \Rightarrow a_1 = \pm a_2$$

Шаг 5. Условие перпендикулярности касательных

Угловые коэффициенты касательных:

$$k_1 = -a_1, \quad k_2 = -a_2$$

Перпендикулярность:

$$k_1 \cdot k_2 = (-a_1)(-a_2) = a_1 a_2 = -1$$

Мы уже знаем, что $a_1 = \pm a_2$. Подставим:

Если $a_1 = -a_2 \Rightarrow a_1 a_2 = -a_2^2$, тогда:

$$— a_2^2 = -1 \Rightarrow a_2^2 = 1 \Rightarrow a_2 = \pm 1, \quad a_1 = \mp 1$$

Шаг 6. Найдём координаты точки пересечения на оси $y$

Подставим $a = \pm 1$ в выражение:

$$y = \frac{1}{2}a^2 + 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 = 3.5$$

Ответ к пункту а):

$$\boxed{B(0;\ 3{,}5)}$$

б) $f(x) = 0{,}5x^2 — 2{,}5$

Шаг 1. Производная функции

$$f(x) = 0.5x^2 — 2.5 \Rightarrow f'(x) = 0.5 \cdot 2x = x \Rightarrow f'(a) = a$$

Шаг 2. Уравнение касательной в точке $x = a$

$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)=(0.5a^2-2.5)+a(x-a)=0.5a^2-2.5+$$

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (0.5a^2 — 2.5) + a(x — a) = 0.5a^2 — 2.5 + ax — a^2 = ax — 2.5 — 0.5a^2$$

Шаг 3. Найдём точку пересечения касательных на оси $y$

Пусть $x = 0$

Тогда:

$$y = a \cdot 0 — 2.5 — 0.5a^2 = -2.5 — 0.5a^2$$

Для двух касательных:

$$y_1 = -2.5 — 0.5a_1^2, \quad y_2 = -2.5 — 0.5a_2^2 \Rightarrow a_1^2 = a_2^2 \Rightarrow a_1 = \pm a_2$$

Шаг 4. Условие перпендикулярности

$$k_1 = a_1, \quad k_2 = a_2 \Rightarrow k_1 \cdot k_2 = a_1 a_2 = -1$$

Если $a_1 = -a_2 \Rightarrow a_1 a_2 = -a_2^2 = -1 \Rightarrow a_2^2 = 1 \Rightarrow a_2 = \pm 1,\quad a_1 = \mp 1$

Шаг 5. Составим уравнения касательных

Для $a = -1$:

$$y = -1 \cdot x — 2.5 — 0.5 \cdot 1 = -x — 3$$

Для $a = 1$:

$$y = 1 \cdot x — 2.5 — 0.5 = x — 3$$

Ответ к пункту б):

$$\boxed{{\displaystyle y=-x-3;y=x-3}}$$