ГДЗ 10-11 Класс Номер 29.38 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) При каком значении параметра p касательная к графику функции у = x³ — pх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)?

б) При каком значении параметра p касательная к графику функции у = х³ + рх² в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)?

При каком значении параметра $p$ касательная к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = 1$ проходит через заданную точку:

а) $f(x) = x^3 — px$;
Значение функции:
$f(1) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p$;

Значение производной:
$f'(x) = (x^3)’ — (px)’ = 3x^2 — p$;
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (1 — p) + (3 — p)(x — 1)$;
$y = 1 — p + 3x — 3 — px + p = 3x — 2 — px$;

Касательная проходит через точку $(2;\ 3)$:
$3 = 3 \cdot 2 — 2 — p \cdot 2$;
$3 = 6 — 2 — 2p$;
$5 = 6 — 2p$;
$2p = 1$;
$p = \frac{1}{2} = 0{,}5$;

Ответ: 0,5.

б) $f(x) = x^3 + px^2$;
Значение функции:
$f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$;

Значение производной:
$f'(x) = (x^3)’ + p(x^2)’ = 3x^2 + 2px$;
$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$;

Уравнение касательной:
$y = f(a) + f'(a)(x — a) = (1 + p) + (3 + 2p)(x — 1)$;
$y = 1 + p + 3x — 3 + 2px — 2p = 2px + 3x — p — 2$;

Касательная проходит через точку $(3;\ 2)$:
$2 = 2p \cdot 3 + 3 \cdot 3 — p — 2$;
$2 = 6p + 9 — p — 2$;
$4 = 6p + 9 — p$;
$4 = 5p + 9$;
$5p = -5$;
$p = -1$;

Ответ: -1.

а) $f(x) = x^3 — px$, через точку $(2;\ 3)$

Шаг 1: Найдём значение функции в точке касания $x = 1$

Подставляем в $f(x)$:

$$f(1) = 1^3 — p \cdot 1 = 1 — p$$

Шаг 2: Найдём производную функции

Функция:

$$f(x) = x^3 — px$$

Дифференцируем:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(px)’ = p \cdot 1 = p$

Итак:

$$f'(x) = 3x^2 — p$$

Теперь найдём значение производной в точке $x = 1$:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 — p = 3 — p$$

Шаг 3: Составим уравнение касательной в точке $x = 1$

Формула касательной:

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1)$$

Подставим:

$$y = (1 — p) + (3 — p)(x — 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 1 — p + (3 — p)x — (3 — p) = (3 — p)x — (3 — p) + 1 — p$$

Упрощаем:

$$y = (3 — p)x — (2 + 2p)$$

Или можно просто:

$$y=1-p+(3-p)(x-1)\Rightarrow y=1-p+(3-p)x-(3-p)=$$

$$y = 1 — p + (3 — p)(x — 1) \Rightarrow y = 1 — p + (3 — p)x — (3 — p) = (3 — p)x — (2p + 2)$$

Шаг 4: Подставим координаты заданной точки $(2;\ 3)$

Условие: касательная проходит через точку $(2; 3)$

Подставим $x = 2$, $y = 3$ в уравнение касательной:

$$3 = (3 — p) \cdot 2 — (2p + 2)$$

Раскроем скобки:

$$3 = 6 — 2p — 2 = 4 — 2p$$

Решаем:

$$3 = 4 — 2p \Rightarrow 2p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{2}$$

Ответ (а):

$$\boxed{p = \frac{1}{2} = 0{,}5}$$

б) $f(x) = x^3 + px^2$, через точку $(3;\ 2)$

Шаг 1: Значение функции в точке $x = 1$

Подставим:

$$f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$$

Шаг 2: Найдём производную

$$f(x) = x^3 + px^2 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 2px$$

Находим в точке $x = 1$:

$$f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$$

Шаг 3: Уравнение касательной в точке $x = 1$

Формула:

$$y = f(1) + f'(1)(x — 1) = (1 + p) + (3 + 2p)(x — 1)$$

Раскроем:

$$y = 1 + p + (3 + 2p)x — (3 + 2p)$$

Упростим:

$$y = (3 + 2p)x + (1 + p — 3 — 2p) = (3 + 2p)x — (2 + p)$$

Шаг 4: Подставим точку $(3;\ 2)$

$$2 = (3 + 2p) \cdot 3 — (2 + p)$$

Считаем:

$$2 = 9 + 6p — 2 — p = 7 + 5p$$

Решаем:

$$2 = 7 + 5p \Rightarrow 5p = -5 \Rightarrow p = -1$$

Ответ (б):

$$\boxed{{\displaystyle p=-1}}$$