ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция убывает:

а) у = sin2x — Зх;

б) у = cosЗх — 4х.

Доказать, что заданная функция убывает:

а) $y = \sin 2x — 3x$;

Производная неположительна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = 2 \cdot \cos 2x — (3x)’ = 2 \cos 2x — 3 < 0$;
$-1 \leq \cos 2x \leq 1$, $(2 \cos 2x — 3) \leq -1$;
Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x — 4x$;

Производная неположительна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = 3 \cdot (-\sin 3x) — (4x)’ = -3 \sin 3x — 4 < 0$;
$-1 \leq \sin 3x \leq 1$, $(-3 \sin 3x — 4) \leq -1$;
Что и требовалось доказать.

Функция $y = f(x)$ убывает на множестве $D \subset \mathbb{R}$, если:

$$\forall x_1 < x_2 \in D \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

Достаточное условие убывания:

Если $f'(x) < 0$ на всём множестве $D$, то функция строго убывает на этом множестве.
Если $f'(x) \leq 0$, то она невозрастающая.

а) $y = \sin 2x — 3x$

Шаг 1. Найдём производную функции:

Функция состоит из двух слагаемых:

• $(\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$ — производная синуса составного аргумента.
• $(3x)’ = 3$ — производная линейной функции.

Применяем правило дифференцирования суммы:

$$y'(x) = (\sin 2x)’ — (3x)’ = 2 \cos 2x — 3$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

Известно, что для любого $x \in \mathbb{R}$:

$$-1 \leq \cos 2x \leq 1$$

Умножим неравенство на 2:

$$-2 \leq 2 \cos 2x \leq 2$$

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:

$$-2 — 3 \leq 2 \cos 2x — 3 \leq 2 — 3 \Rightarrow -5 \leq y'(x) \leq -1$$

Шаг 3. Делaем вывод:

Производная $y'(x) = 2 \cos 2x — 3$ всегда меньше нуля, потому что её наибольшее значение — $-1$.

Значит, функция $y = \sin 2x — 3x$ строго убывает на всей области определения $\mathbb{R}$.

б) $y = \cos 3x — 4x$

Шаг 1. Найдём производную функции:

Функция состоит из двух слагаемых:

• $(\cos 3x)’ = -3 \sin 3x$ — производная косинуса составного аргумента.
• $(4x)’ = 4$

$$y'(x) = (\cos 3x)’ — (4x)’ = -3 \sin 3x — 4$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

Значения синуса:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1$$

Домножим неравенство на $-3$ (знак меняется):

$$3 \geq -3 \sin 3x \geq -3$$

Теперь прибавим $-4$ ко всем частям:

$$3 — 4 \geq -3 \sin 3x — 4 \geq -3 — 4 \Rightarrow -1 \geq y'(x) \geq -7$$

Шаг 3. Делaем вывод:

Производная $y'(x) = -3 \sin 3x — 4$ всегда отрицательна, потому что её наибольшее значение — $-1$.

Значит, функция $y = \cos 3x — 4x$ строго убывает на всей области определения $\mathbb{R}$.