ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности:

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$;

б) $y = \sin x — 2x — 15$;

в) $y = x — \cos x + 8$;

г) $y = 11 — 5x — x^3$

Доказать, что функция монотонна на всей числовой прямой, и указать характер монотонности:

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (x^5)’ + 6(x^3)’ — (7)’$;
$y'(x) = 5x^4 + 6 \cdot 3x^2 — 0 = 5x^4 + 18x^2 > 0$;
$x^4 \geq 0, \quad x^2 \geq 0$;
Ответ: возрастает.

б) $y = \sin x — 2x — 15$;
Производная неположительна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (\sin x)’ + (-2x — 15)’ = \cos x — 2 < 0$;
$-1 \leq \cos x \leq 1, \quad (\cos x — 2) \leq -1$;
Ответ: убывает.

в) $y = x — \cos x + 8$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (x)’ — (\cos x)’ + (8)’$;
$y'(x) = 1 — (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x \geq 0$;
$-1 \leq \sin x \leq 1, \quad (1 + \sin x) \geq 0$;
Ответ: возрастает.

г) $y = 11 — 5x — x^3$;
Производная неположительна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (11 — 5x)’ — (x^3)’ = -5 — 3x^2 < 0$;
$x^2 \geq 0, \quad -x^2 \leq 0$;
Ответ: убывает.

Функция $y = f(x)$ называется:

• возрастающей, если $f'(x) \geq 0$ на данном промежутке;
• строго возрастающей, если $f'(x) > 0$;
• убывающей, если $f'(x) \leq 0$;
• строго убывающей, если $f'(x) < 0$.

Наша цель:

1. Найти производную $y'(x)$;
2. Проанализировать знак $y'(x)$ на всей числовой прямой;
3. Сделать вывод о характере монотонности.

а) $y = x^5 + 6x^3 — 7$

Шаг 1. Находим производную

Применим стандартные правила дифференцирования:

• $(x^5)’ = 5x^4$
• $(6x^3)’ = 6 \cdot 3x^2 = 18x^2$
• $(-7)’ = 0$

$$y'(x) = 5x^4 + 18x^2 + 0 = 5x^4 + 18x^2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Заметим:

• $x^2 \geq 0 \Rightarrow 18x^2 \geq 0$
• $x^4 \geq 0 \Rightarrow 5x^4 \geq 0$

Следовательно:

$$y'(x) = 5x^4 + 18x^2 \geq 0$$

Производная равна 0 только при $x = 0$; во всех остальных случаях $y'(x) > 0$.

Вывод:
Производная неотрицательна на $\mathbb{R}$, значит, функция неубывающая,
а так как $y'(x) > 0$ почти везде, то функция строго возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = \sin x — 2x — 15$

Шаг 1. Находим производную

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(-2x)’ = -2$
• $(-15)’ = 0$

$$y'(x) = \cos x — 2 + 0 = \cos x — 2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Известно:

$$-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow \cos x — 2 \leq 1 — 2 = -1$$

Также:

$$\cos x — 2 \in [-3, -1] \Rightarrow y'(x) < 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Производная отрицательна на всей числовой прямой,
значит, функция строго убывает при всех $x \in \mathbb{R}$.

в) $y = x — \cos x + 8$

Шаг 1. Находим производную

• $(x)’ = 1$
• $(-\cos x)’ = \sin x$
• $(8)’ = 0$

$$y'(x) = 1 + \sin x$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Известно:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow 1 + \sin x \in [0, 2] \Rightarrow y'(x) \geq 0$$

Производная равна 0 при $\sin x = -1$, т.е. $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$, а в остальных точках $y'(x) > 0$

Вывод:
Производная неотрицательна на всей числовой прямой,
значит, функция неубывающая,
и поскольку почти всюду $y'(x) > 0$, то функция строго возрастает.

г) $y = 11 — 5x — x^3$

Шаг 1. Находим производную

• $(11)’ = 0$
• $(-5x)’ = -5$
• $(-x^3)’ = -3x^2$

$$y'(x) = -5 — 3x^2$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

Заметим:

• $x^2 \geq 0 \Rightarrow -3x^2 \leq 0$
• $-5$ — отрицательная постоянная

$$y'(x) = -5 — 3x^2 \leq -5 < 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$$

Вывод:
Производная отрицательна на всей числовой прямой,
значит, функция строго убывает.