ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = x^4 — 2x^2 — 3$;

б) $y = -x^5 — x$;

в) $y = -3x^4 + 4x^3 — 15$;

г) $y = 5x^5 — 1$

Исследовать функцию на монотонность:

а) $y = x^4 — 2x^2 — 3$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ — (3)’$;
$y'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x — 0 = 4x^3 — 4x$;

Промежуток возрастания:
$4x^3 — 4x \geq 0$;
$4x(x^2 — 1) \geq 0$;
$(x + 1)x(x — 1) \geq 0$;
$-1 \leq x \leq 0$ или $x \geq 1$;

Ответ: возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$.

б) $y = -x^5 — x$;

Производная функции:
$y'(x) = -(x^5)’ — (x)’ = -5x^4 — 1$;

Промежуток возрастания:
$-5x^4 — 1 \geq 0$;
$5x^4 \leq -1$;
$x^4 \leq -0{,}2$;
$x \in \varnothing$;

Ответ: убывает на $(-\infty; +\infty)$.

в) $y = -3x^4 + 4x^3 — 15$;

Производная функции:
$y'(x) = -3(x^4)’ + 4(x^3)’ — (15)’$;
$y'(x) = -3 \cdot 4x^3 + 4 \cdot 3x^2 — 0 = 12x^2 — 12x^3$;

Промежуток возрастания:
$12x^2 — 12x^3 \geq 0$;
$12x^2(1 — x) \geq 0$;
$1 — x \geq 0$;
$x \leq 1$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$.

г) $y = 5x^5 — 1$;

Производная функции:
$y'(x) = 5(x^5)’ — (1)’ = 5 \cdot 5x^4 — 0 = 25x^4$;

Промежуток возрастания:
$25x^4 \geq 0$;
$x^4 \geq 0$;
$x \geq 0$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; +\infty)$.

Чтобы определить промежутки монотонности функции, нужно:

1. Найти производную $y'(x)$,
2. Решить неравенство $y'(x) > 0$ (для возрастания) и $y'(x) < 0$ (для убывания),
3. Найти критические точки (нулевые и разрывные точки производной),
4. Разбить числовую прямую на промежутки и определить знак производной на каждом,
5. Сделать вывод о монотонности.

а) $y = x^4 — 2x^2 — 3$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = (x^4)’ — 2(x^2)’ — (3)’ = 4x^3 — 4x$$

Шаг 2. Решим неравенство $y'(x) \geq 0$:

$$4x^3 — 4x \geq 0 \Rightarrow 4x(x^2 — 1) \geq 0 \Rightarrow 4x(x — 1)(x + 1) \geq 0$$

Шаг 3. Найдём критические точки:

Нули производной:

$$x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1$$

Шаг 4. Построим таблицу знаков:

На числовой прямой точки: $-1$, $0$, $1$

Тестовые значения:

• $x < -1$ → $x = -2$: $(-2)(-3)(-1) = -6 < 0$
• $-1 < x < 0$ → $x = -0.5$: $(-0.5)(-1.5)(0.5) = 0.375 > 0$
• $0 < x < 1$ → $x = 0.5$: $(0.5)(-0.5)(1.5) = -0.375 < 0$
• $x > 1$ → $x = 2$: $(2)(1)(3) = 6 > 0$

Шаг 5. Промежутки:

• Возрастание: $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$
• Убывание: $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$

Вывод:
Функция возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$
и убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$

б) $y = -x^5 — x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = -(x^5)’ — (x)’ = -5x^4 — 1$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

$$x^4 \geq 0 \Rightarrow -5x^4 \leq 0 \Rightarrow y'(x) = -5x^4 — 1 \leq -1 < 0$$

Производная всегда отрицательна.

Вывод:
Функция строго убывает на $(-\infty; +\infty)$

в) $y = -3x^4 + 4x^3 — 15$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = -3(x^4)’ + 4(x^3)’ = -12x^3 + 12x^2 = 12x^2(1 — x)$$

Шаг 2. Решим неравенство $y'(x) \geq 0$:

$$12x^2(1 — x) \geq 0$$

Заметим:

• $x^2 \geq 0$
• Знак неравенства определяется выражением $1 — x$

Шаг 3. Найдём критические точки:

• $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$
• $1 — x = 0 \Rightarrow x = 1$

Шаг 4. Построим таблицу знаков:

Промежутки: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$

Проверим знак $y'(x) = 12x^2(1 — x)$:

• $x < 0$: $x^2 > 0$, $1 — x > 1$, → положительно
• $0 < x < 1$: $x^2 > 0$, $1 — x > 0$ → положительно
• $x > 1$: $x^2 > 0$, $1 — x < 0$ → отрицательно

Шаг 5. Промежутки:

• Возрастание: $(-\infty; 1]$
• Убывание: $[1; +\infty)$

Вывод:
Функция возрастает на $(-\infty; 1]$,
убывает на $[1; +\infty)$

г) $y = 5x^5 — 1$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y'(x) = 5(x^5)’ — (1)’ = 25x^4$$

Шаг 2. Исследуем знак производной:

$$x^4 \geq 0 \Rightarrow y'(x) = 25x^4 \geq 0$$

Причём:

• $y'(x) = 0$ только при $x = 0$
• $y'(x) > 0$ при $x \neq 0$

Вывод:
Функция неубывающая на $(-\infty; +\infty)$,
и строго возрастает почти везде, кроме точки $x = 0$

Можно сказать:
Функция возрастает на всей числовой прямой.