ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция:

а) $y = x^5 + 3x — 6$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = 15 — \frac{2}{x} — \frac{1}{x^3}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = 21x — \frac{1}{x^5}$ возрастает на $(0; +\infty)$

Доказать, что функция:

а) $y = x^5 + 3x — 6$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

$y'(x) = (x^5)’ + (3x — 6)’ = 5x^4 + 3 > 0$;

$x^4 \geq 0$;

Что и требовалось доказать.

б) $y = 15 — \frac{2}{x} — \frac{1}{x^3}$ возрастает на $(-\infty; 0)$;

$y'(x) = (15)’ — 2(x^{-1})’ — (x^{-3})’$;

$y'(x) = 0 — 2 \cdot (-1 \cdot x^{-2}) — (-3x^{-4}) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4} > 0$;

$x^2 > 0,\ x^4 > 0$;

Что и требовалось доказать.

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$ возрастает на $(-\infty; +\infty)$;

$y'(x) = (x^7)’ + 7(x^3)’ + (2x — 42)’$;

$y'(x) = 7x^6 + 7 \cdot 3x^2 + 2 = 7x^6 + 21x^2 + 2 > 0$;

$x^6 \geq 0,\ x^2 \geq 0$;

Что и требовалось доказать.

г) $y = 21x — \frac{1}{x^5}$ возрастает на $(0; +\infty)$;

$y'(x) = (21x)’ — (x^{-5})’ = 21 — (-5 \cdot x^{-6}) = 21 + 5x^{-6} = 21 + \frac{5}{x^6} > 0$;

$x^6 > 0$;

Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что функция возрастает на каком-либо промежутке, нужно:

1. Найти производную $y'(x)$;
2. Определить область допустимых значений (ОДЗ);
3. Показать, что $y'(x) > 0$ (т.е. положительна) на всём заданном промежутке;
4. Сделать вывод: если $y'(x) > 0$, то функция строго возрастает.

а) $y = x^5 + 3x — 6$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = (x^5)’ + (3x)’ — (6)’ = 5x^4 + 3 + 0 = 5x^4 + 3$$

Шаг 2. Исследуем знак производной

• $x^4 \geq 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$
• Следовательно:

  $$5x^4 + 3 \geq 3 > 0$$

Шаг 3. Область определения

Функция и производная определены при всех $x \in \mathbb{R}$

Вывод:
Так как $y'(x) > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$,
функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$

б) $y = 15 — \dfrac{2}{x} — \dfrac{1}{x^3}$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = 0 — 2 \cdot \left( \frac{d}{dx}x^{-1} \right) — \left( \frac{d}{dx}x^{-3} \right) = -2 \cdot (-x^{-2}) — (-3x^{-4}) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4}$$

Шаг 2. Область определения

• $x \ne 0$
• Функция определена на двух промежутках: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

Шаг 3. Исследуем знак производной на $(-\infty; 0)$

На этом промежутке:

• $x^2 > 0$, $x^4 > 0$
• Поэтому:

  $$y'(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x^4} > 0$$

Вывод:
Функция строго возрастает на $(-\infty; 0)$

в) $y = x^7 + 7x^3 + 2x — 42$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = (x^7)’ + 7(x^3)’ + 2(x)’ — (42)’ = 7x^6 + 21x^2 + 2$$

Шаг 2. Анализ производной

• $x^6 \geq 0$, $x^2 \geq 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$
• Значит:

  $$y'(x) = 7x^6 + 21x^2 + 2 \geq 2 > 0$$

Шаг 3. Область определения

Вся функция определена при $x \in \mathbb{R}$

Вывод:
Функция строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$

г) $y = 21x — \dfrac{1}{x^5}$

Шаг 1. Найдём производную

$$y'(x) = (21x)’ — \left( x^{-5} \right)’ = 21 — (-5x^{-6}) = 21 + \frac{5}{x^6}$$

Шаг 2. Область определения

• $x \ne 0$
• Нам нужно доказать возрастание на $(0; +\infty)$

Шаг 3. Знак производной на $(0; +\infty)$

На этом промежутке:

• $x^6 > 0 \Rightarrow \frac{5}{x^6} > 0$
• Тогда:

  $$y'(x) = 21 + \frac{5}{x^6} > 21 > 0$$

Вывод:
Функция строго возрастает на $(0;+\mathrm{\infty })$