ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = -x^3 — 5x + 3$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$ убывает на $(-\infty; +\infty)$

Доказать, что функция:

а) $y = -x^3 — 5x + 3$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

$$y'(x) = -(x^3)’ + (-5x + 3)’ = -3x^2 — 5 < 0;$$ $$x^2 \geq 0,\quad -x^2 \leq 0;$$

Что и требовалось доказать.

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

$$y'(x) = -2(x^5)’ — 7(x^3)’ + (-x + 8)’;$$ $$y'(x) = -2 \cdot 5x^4 — 7 \cdot 3x^2 — 1 = -10x^4 — 21x^2 — 1 < 0;$$ $$x^4 \geq 0,\quad x^2 \geq 0;$$

Что и требовалось доказать.

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

$$y'(x) = -(x^3)’ + 3(x^2)’ + (-6x + 1)’;$$ $$y'(x) = -3x^2 + 3 \cdot 2x — 6 = -3x^2 + 6x — 6;$$

Промежуток убывания:

$$-3x^2 + 6x — 6 \leq 0 \quad \mid : (-3);$$ $$x^2 — 2x + 2 \geq 0;$$ $$D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4;$$ $$D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};$$

Что и требовалось доказать.

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$ убывает на $(-\infty; +\infty)$;

$$y'(x) = -4(x^3)’ + 4(x^2)’ + (-2x + 9)’;$$ $$y'(x) = -4 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x — 2 = -12x^2 + 8x — 2;$$

Промежуток убывания:

$$-12x^2 + 8x — 2 \leq 0 \quad \mid : (-2);$$ $$6x^2 — 4x + 1 \geq 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 6 = 16 — 24 = -8;$$ $$D < 0 \text{ и } a > 0, \text{ значит } x \in \mathbb{R};$$

Что и требовалось доказать.

Доказать, что функция убывает на $(-\infty; +\infty)$

Для этого нужно:

1. Найти производную $y'(x)$;
2. Показать, что $y'(x) < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$;
3. Сделать вывод о убывании функции на всей числовой прямой.

а) $y = -x^3 — 5x + 3$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (-x^3)’ + (-5x)’ + (3)’ = -3x^2 — 5 + 0 = -3x^2 — 5$$

Шаг 2: Анализ производной

• $x^2 \geq 0 \Rightarrow -3x^2 \leq 0$
• $-3x^2 — 5 \leq -5 < 0$ при любом $x \in \mathbb{R}$

Вывод: $y'(x) < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$, значит:

$$\boxed{y = -x^3 — 5x + 3 \text{ убывает на } (-\infty; +\infty)}$$

б) $y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (-2x^5)’ + (-7x^3)’ + (-x)’ + (8)’ = -10x^4 — 21x^2 — 1$$

Шаг 2: Анализ производной

• $x^4 \geq 0$, $x^2 \geq 0$
• Следовательно:

  $$y'(x) = -10x^4 — 21x^2 — 1 < 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

$$\boxed{y = -2x^5 — 7x^3 — x + 8 \text{ убывает на } (-\infty; +\infty)}$$

в) $y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (-x^3)’ + (3x^2)’ + (-6x)’ + (1)’ = -3x^2 + 6x — 6$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Рассмотрим знак выражения:

$$y'(x) = -3x^2 + 6x — 6$$

Разделим обе части неравенства $y'(x) \leq 0$ на $-3$ (меняя знак):

$$x^2 — 2x + 2 \geq 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$$

• $D < 0 \Rightarrow$ уравнение не имеет действительных корней
• Ветви параболы вверх ($a = 1 > 0$)
• Значит:

  $$x^2 — 2x + 2 > 0 \quad \text{при всех } x \in \mathbb{R} \Rightarrow y'(x) < 0$$

Вывод:

$$\boxed{y = -x^3 + 3x^2 — 6x + 1 \text{ убывает на } (-\infty; +\infty)}$$

г) $y = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9$

Шаг 1: Найдём производную

$$y'(x) = (-4x^3)’ + (4x^2)’ + (-2x)’ + (9)’ = -12x^2 + 8x — 2$$

Шаг 2: Анализ производной

Рассмотрим неравенство:

$$-12x^2 + 8x — 2 \leq 0$$

Разделим обе части на $-2$ (знак меняется):

$$6x^2 — 4x + 1 \geq 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 16 — 24 = -8$$

• $D < 0 \Rightarrow$ корней нет
• $a = 6 > 0 \Rightarrow$ парабола лежит выше оси Ox:

$$6x^2 — 4x + 1 > 0 \Rightarrow y'(x) < 0$$

Вывод:

$$\boxed{{\displaystyle y=-4x^3+4x^2-2x+9\text{ убывает на }(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })}}$$