ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $y = x^3 + ax$;

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$

Выяснить, при каких значениях параметра $a$ функция возрастает на всей числовой прямой:

а) $y = x^3 + ax$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ + (ax)’ = 3x^2 + a$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 + a \geq 0$;
$3x^2 \geq -a$;

Неравенство всегда верно:
$-a \leq 0$;
$a \geq 0$;

Ответ: $a \in [0; +\infty)$.

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — a(x^2)’ + (5x — 3)’$;
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — a \cdot 2x + 5 = x^2 — 2ax + 5$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 2ax + 5 \geq 0$;
$D = (2a)^2 — 4 \cdot 5 = 4a^2 — 20 = 4(a^2 — 5)$;

Неравенство всегда верно:
$4(a^2 — 5) \leq 0$;
$(a + \sqrt{5})(a — \sqrt{5}) \leq 0$;
$-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}$;

Ответ: $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

а) $y = x^3 + ax$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y = x^3 + ax$$

Производная по $x$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(ax) = 3x^2 + a$$

Шаг 2: Исследуем знак производной

Функция возрастает там, где производная неотрицательна:

$$y'(x) = 3x^2 + a \geq 0$$

Перенесём $a$ вправо:

$$3x^2 \geq -a$$

Поскольку $x^2 \geq 0$, а $3x^2 \geq 0$, это неравенство будет выполняться для всех $x \in \mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда правая часть $-a \leq 0$, т.е.:

$$-a \leq 0 \Rightarrow a \geq 0$$

Ответ:

$$\boxed{a \in [0; +\infty)}$$

б) $y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$

Шаг 1: Найдём производную функции

Функция:

$$y = \frac{x^3}{3} — ax^2 + 5x — 3$$

Вычисляем производную по $x$:

• $\left( \frac{x^3}{3} \right)’ = x^2$
• $(-ax^2)’ = -2ax$
• $(5x)’ = 5$
• $(-3)’ = 0$

Итак:

$$y'(x) = x^2 — 2ax + 5$$

Шаг 2: Требуемый знак производной

Хотим, чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, т.е.:

$$y'(x) \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Это возможно, если квадратичный трёхчлен всегда неотрицателен, т.е. его дискриминант не больше нуля и коэффициент при $x^2$ положителен.

Шаг 3: Исследуем квадратный трёхчлен

Трёхчлен:

$$x^2 — 2ax + 5$$

Коэффициент при $x^2$: $1 > 0$, значит ветви параболы вверх.

Чтобы парабола не опускалась ниже оси Ox, её дискриминант должен быть неположительным.

Находим дискриминант:

$$D = (-2a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4a^2 — 20$$

Требуем:

$$4a^2 — 20 \leq 0$$

Делим на 4:

$$a^2 — 5 \leq 0 \Rightarrow a^2 \leq 5$$

Извлекаем корень:

$$-\sqrt{5} \leq a \leq \sqrt{5}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle a\in [-\sqrt{5};\sqrt{5}]}}$$