ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра а функция у = 2x³ — 3x² + 7 возрастает в интервале (a — 1; а + 1)?

б) При каких значениях параметра а функция у = -x³ + 3x + 5 убывает в интервале (а; а + $\frac{1}{2}$)?

Найти значения параметра $a$, при которых функция:

а) $y = 2x^3 — 3x^2 + 7$ возрастает на $(a — 1; a + 1)$;

Производная функции:
$y'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ + (7)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 — 6x$;

Промежуток возрастания:
$6x^2 — 6x \geq 0$;
$6x(x — 1) \geq 0$;
$x \leq 0$ или $x \geq 1$;

Левая граница промежутка:
$a — 1 \geq 1$;
$a \geq 2$;

Правая граница промежутка:
$a + 1 \leq 0$;
$a \leq -1$;

Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

б) $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает на $\left(a; a + \frac{1}{2}\right)$;

Производная функции:
$y'(x) = -(x^3)’ + (3x + 5)’ = -3x^2 + 3$;

Промежуток убывания:
$-3x^2 + 3 \leq 0$;
$x^2 — 1 \geq 0$;
$(x + 1)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq 1$;

Левая граница промежутка:
$a \geq 1$;

Правая граница промежутка:
$a + \frac{1}{2} \leq -1$;
$a \leq -1,5$;

Ответ: $a \in (-\infty; -1,5] \cup [1; +\infty)$.

а) $y = 2x^3 — 3x^2 + 7$ возрастает на $(a — 1;\ a + 1)$

Шаг 1. Область определения

Функция — это многочлен, он определён на всей числовой прямой:

$$D(y) = \mathbb{R}$$

Шаг 2. Условие: функция возрастает на $(a — 1;\ a + 1)$

Функция возрастает на промежутке, если её производная неотрицательна на этом промежутке, то есть:

$$y'(x) \geq 0 \quad \text{на всём } (a — 1;\ a + 1)$$

Шаг 3. Найдём производную функции

$$y = 2x^3 — 3x^2 + 7$$

По правилам:

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(x^2)’ = 2x$
• $(7)’ = 0$

$$y'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 6x^2 — 6x$$

Шаг 4. Найдём, где производная $y'(x) = 6x^2 — 6x$ ≥ 0

Решим неравенство:

$$6x^2 — 6x \geq 0 \Rightarrow 6x(x — 1) \geq 0$$

Разделим обе части на 6:

$$x(x — 1) \geq 0$$

Решим методом интервалов:

• Нули выражения: $x = 0$, $x = 1$
• Знаки на интервалах:
  • $(-\infty; 0) \Rightarrow x < 0,\ x — 1 < 0 \Rightarrow (-)(-) = +$
  • $(0; 1) \Rightarrow x > 0,\ x — 1 < 0 \Rightarrow (+)(-) = —$
  • $(1; +\infty) \Rightarrow x > 0,\ x — 1 > 0 \Rightarrow (+)(+) = +$

Решение неравенства:

$$x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$$

Шаг 5. Производная положительна на интервалах возрастания

Значит, функция возрастает на:

$$(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$$

Теперь нам нужно, чтобы весь промежуток $(a — 1; a + 1)$ целиком попал в этот интервал возрастания.

Шаг 6. Включение промежутков

Промежуток $(a — 1;\ a + 1)$ целиком лежит:

• Либо в $(-\infty; 0]$ → значит, правая граница $a + 1 \leq 0 \Rightarrow a \leq -1$
• Либо в $[1; +\infty)$ → значит, левая граница $a — 1 \geq 1 \Rightarrow a \geq 2$

Шаг 7. Итоговое объединение

Итак, получаем:

$$a \leq -1 \quad \text{или} \quad a \geq 2$$

Ответ а):

$$\boxed{a \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)}$$

б) $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает на $\left(a;\ a + \frac{1}{2}\right)$

Шаг 1. Область определения

Снова — многочлен, значит:

$$D(y) = \mathbb{R}$$

Шаг 2. Условие: функция убывает на $\left(a;\ a + \frac{1}{2}\right)$

Функция убывает, если её производная:

$$y'(x) \leq 0 \quad \text{на всём } \left(a;\ a + \frac{1}{2}\right)$$

Шаг 3. Найдём производную функции

$$y = -x^3 + 3x + 5$$

Продифференцируем:

• $(-x^3)’ = -3x^2$
• $(3x)’ = 3$
• $(5)’ = 0$

$$y'(x) = -3x^2 + 3$$

Шаг 4. Найдём, где производная $y'(x) = -3x^2 + 3 \leq 0$

Решаем неравенство:

$$-3x^2 + 3 \leq 0 \Rightarrow 3x^2 \geq 3 \Rightarrow x^2 \geq 1$$ $$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$$

Шаг 5. Производная отрицательна ⇒ функция убывает

Итак, функция убывает на интервалах:

$$(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$$

Нам нужно, чтобы весь промежуток $\left(a;\ a + \frac{1}{2}\right)$ лежал в этих интервалах.

Шаг 6. Включение промежутков

Промежуток $\left(a;\ a + \frac{1}{2}\right) \subset (-\infty; -1]$:
Чтобы весь промежуток заканчивался не правее -1, то:

$$a + \frac{1}{2} \leq -1 \Rightarrow a \leq -\frac{3}{2}$$

Промежуток $\left(a;\ a + \frac{1}{2}\right) \subset [1; +\infty)$:
Чтобы весь промежуток начинался не левее 1, то:

$$a \geq 1$$

Шаг 7. Объединение решений

$$a \leq -1.5 \quad \text{или} \quad a \geq 1$$

Ответ б):

$$\boxed{a \in (-\infty; -1{,}5] \cup [1; +\infty)}$$

Окончательные ответы:

а) $\boxed{a \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)}$

б) $\boxed{{\displaystyle a\in (-\mathrm{\infty };-\mathrm{1,5}]\cup [1;+\mathrm{\infty })}}$