ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции у = f(x), изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых её производная обращается в ноль:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

По графику функции $y = f(x)$, изображенному на заданном рисунке, определить точки, в которых ее производная обращается в нуль:
(Производная обращается в ноль в тех точках, в которых график функции изменяет характер монотонности, но не имеет излома);

а) Рисунок 64;
Ответ: $b;\ d$.

б) Рисунок 65;
Ответ: $c$.

в) Рисунок 66;
Ответ: $a;\ b$.

г) Рисунок 67;
Ответ: нет таких точек.

Найти точки, в которых производная функции $y = f(x)$ обращается в нуль.

Производная обращается в ноль в тех точках, где:

• график функции плавно (без изломов!) меняет характер монотонности (например, из возрастания в убывание или наоборот),
• то есть — локальные экстремумы (максимумы или минимумы),
• но не в точках излома (углов, резкой смены наклона).

а) Рис. 64

На графике видно:

• В точке $b$ — максимум: график сначала возрастает, затем убывает ⇒ производная $f'(x) = 0$.
• В точке $d$ — минимум: график убывает, затем возрастает ⇒ производная $f'(x) = 0$.
• Точка $e$ — вершина «острая», излом ⇒ производной нет.

Ответ:

$$\boxed{b;\ d}$$

б) Рис. 65

Анализ точек:

• $a$ — график плавно убывает.
• $b$ — график имеет острый угол ⇒ производная не существует.
• $c$ — максимум, видно, что до неё функция возрастает, после — убывает ⇒ производная = 0.

Ответ:

$$\boxed{c}$$

в) Рис. 66

Анализируем:

• $a$ — локальный минимум, график переходит от убывания к возрастанию ⇒ $f'(x) = 0$
• $b$ — локальный максимум, график переходит от возрастания к убыванию ⇒ $f'(x) = 0$
• $c$ — тоже экстремум, но острота (есть излом), производной нет.

Ответ:

$$\boxed{a;\ b}$$

г) Рис. 67

Все точки: $a, b, c, d, e$

• Все переходы — резкие, с изломами.
• Нет ни одного плавного максимума или минимума.
• Значит, в этих точках производной нет, а не равна нулю.

Ответ:

$$\boxed{\text{нет таких точек}}$$