ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По графику функции у = f(x), изображённому на рисунке, определите точки, в которых f'(x) не существует:

а) рис. 64;

б) рис. 65;

в) рис. 66;

г) рис. 67.

По графику функции $y = f(x)$, изображенному на рисунке, определить точки, в которых $f'(x)$ не существует:
(Производная не существует в тех точках, в которых график функции имеет излом);

а) Рисунок 64;
Ответ: $e$.

б) Рисунок 65;
Ответ: $a; b$.

в) Рисунок 66;
Ответ: $b; c$.

г) Рисунок 67;
Ответ: $a; b; c; d; e$.

Производная не существует в точке, если:

1. В точке графика есть излом — острый угол, скачок направления касательной;
2. Производная слева и справа от точки имеют разные конечные значения;
3. Функция разрыва нет — она не обрывается, но имеет резкую смену наклона.

Такие точки называются точками недифференцируемости.

а) Рисунок 64

График гладкий (плавный) во всех точках a, b, c, d, кроме точки $e$:

• В точке $e$ — виден резкий излом:
  — до неё график резко возрастает,
  — после неё резко убывает,
  — касательная не может быть проведена плавно,
  —  производная не существует.

Все остальные точки — плавные экстремумы или обычные точки.

Ответ а):

$$\boxed{e}$$

б) Рисунок 65

Анализируем точки:

• Точка $a$ — виден излом (график резко меняет наклон),
• Точка $b$ — тоже излом (очень острый угол, резкий переход от роста к падению),
• Точка $c$ — плавный максимум ⇒ производная существует.

Ответ б):

$$\boxed{a;\ b}$$

в) Рисунок 66

Проверим каждую из точек:

• Точка $a$ — плавный минимум, касательная существует ⇒ производная существует;
• Точка $b$ — излом (резкий угол) ⇒ производная не существует;
• Точка $c$ — тоже излом ⇒ производная не существует.

Ответ в):

$$\boxed{b;\ c}$$

г) Рисунок 67

Все обозначенные точки: $a, b, c, d, e$

Анализ:

• График состоит из ломаных линий, без единого плавного участка.
• Во всех точках:
  • угол поворота,
  • нет единственного касательного направления,
  • ⇒ производная не существует.

Это классический пример кусочно-линейной функции без дифференцируемости в узловых точках.

Ответ г):

$$\boxed{{\displaystyle a;b;c;d;e}}$$