ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) чётная функция;

б) нечётная функция;

в) периодическая функция;

г) монотонная функция?

Может ли иметь только одну точку экстремума:

а) Чётная функция;
Рассмотрим некоторую функцию:
$y = x^2$;
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;
Функция является чётной:
$y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$;
Но имеет только одну точку экстремума:
$y'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$x = 0$ — точка минимума;
Ответ: да.

б) Нечётная функция:
– Каждая нечётная функция симметрична относительно начала координат;
– Если точка $x = a$ является точкой экстремума, то и точка $x = -a$ является таковой;
– Точка $x = 0$ не может быть точкой экстремума, так как функция сохраняет характер монотонности при переходе через ось $y$;
Ответ: нет.

в) Периодическая функция:
– Периодическая функция принимает каждое значение бесконечное количество раз;
– Если точка $x = a$ является точкой экстремума, то и точка $x = a + T$ является таковой;
Ответ: нет.

г) Монотонная функция:
– Монотонная функция не может иметь точек экстремума (то есть точек изменения характера монотонности) по своему определению;
Ответ: нет.

Точка экстремума — это точка, в которой функция достигает локального максимума или минимума, то есть:

• В точке максимума:

  $$f(x) < f(a), \quad \text{при } x \text{ в окрестности } a$$

• В точке минимума:

  $$f(x) > f(a), \quad \text{при } x \text{ в окрестности } a$$

Функция может иметь:

• одну, несколько или бесконечно много экстремумов,
• а может не иметь ни одной (например, если она строго монотонна).

а) Чётная функция

Теория:

• Функция $f(x)$ называется чётной, если:

  $$f(-x) = f(x) \quad \forall x$$

• График симметричен относительно оси $y$.

Вопрос: может ли чётная функция иметь одну точку экстремума?

Да, может — если эта точка находится в нуле.

Пример:

Возьмём $f(x) = x^2$

• $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ — функция чётная
• $f'(x) = 2x$, стационарная точка: $x = 0$
• Второе производное: $f»(x) = 2 > 0$ → точка минимума

Больше производная нигде не обращается в ноль → только одна стационарная точка → один экстремум

Ответ: да

б) Нечётная функция

Теория:

• Функция $f(x)$ называется нечётной, если:

  $$f(-x) = -f(x)$$

• График симметричен относительно начала координат (точки $O$)

Разбор:

• Если $x = a$ — точка экстремума, то по симметрии:

  $$f(-a) = -f(a)$$

• Значит, поведение функции в окрестности $-a$ — зеркальное.
• Если максимум в $x = a$, то в $x = -a$ — минимум.
• То есть: экстремумы возникают парами $(a, -a)$

Почему нельзя один экстремум?

• Если функция нечётная, и экстремум в нуле — он будет точкой перегиба, а не экстремумом.
• Например, $f(x) = x^3$ — нечётная, но $f'(0) = 0$, и это не экстремум, а перегиб.

Ответ: нет

в) Периодическая функция

Теория:

• Функция $f(x)$ называется периодической, если:

  $$f(x + T) = f(x) \quad \forall x$$

• Пример: синус, косинус

Что это значит для экстремумов?

• Если в одной точке есть экстремум, то:

  $$f(x + T), f(x + 2T), f(x — T), \ldots$$

  — тоже будут экстремумы того же типа.

• Значит, у периодической функции экстремумы повторяются бесконечно.

Может ли быть один?

• Нет. Один экстремум означает, что он не повторяется — а это противоречит периодичности.

Ответ: нет

г) Монотонная функция

Теория:

• Монотонная функция — это:
  • возрастающая: $f'(x) \geq 0$
  • убывающая: $f'(x) \leq 0$
• Или строго возрастающая/убывающая

Что с экстремумами?

• Монотонная функция не меняет направления.
• Нет мест, где она переходит от роста к убыванию или наоборот → нет экстремумов.

Может ли быть один?

• Нет. По определению, экстремум — это смена монотонности, а этого у монотонных функций нет.

Ответ: нет