ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По графику производной, изображённому на рисунке (см. с. 112—113), определите, имеет ли функция у = f(x) точки экстремума:

а) рис. 49;

б) рис. 50;

в) рис. 51;

г) рис. 52.

По графику производной, изображенному на рисунке, определить, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

(Точками экстремума функции являются те точки, в которых ее производная изменяет свой знак);

а) Рисунок 49:
$x = -2$ – точка максимума;
$x = 2$ – точка минимума;
Ответ: да.

б) Рисунок 50:
$x = -4$ – точка максимума;
$x = 0$ – точка минимума;
$x = 3$ – точка максимума;
Ответ: да.

в) Рисунок 51:
$x = -6$ – точка максимума;
Ответ: да.

г) Рисунок 52:
$x = -2{,}5$ – точка минимума;
$x = 2{,}5$ – точка максимума;
Ответ: да.

Производная $f'(x)$ описывает скорость изменения функции $f(x)$.

• Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает на этом промежутке.
• Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.
• Если $f'(x) = 0$, и знак производной меняется, то возможна точка экстремума.

Где находятся экстремумы?

Если $f'(x)$ меняет знак:

• С плюса на минус → максимум
• С минуса на плюс → минимум

Эти точки соответствуют точкам пересечения графика производной с осью $x$, где меняется знак производной.

а) Рисунок 49:

График производной:

• $f'(x)$ положительна при $x < -2$,
• $f'(x) = 0$ при $x = -2$,
• $f'(x) < 0$ при $x > -2$

Смена знака с $+$ на $—$ → это максимум в $x = -2$

• Аналогично:
  • $f'(x) < 0$ при $x < 2$
  • $f'(x) = 0$ при $x = 2$
  • $f'(x) > 0$ при $x > 2$

Смена с $—$ на $+$ → минимум в $x = 2$

Вывод:

Есть два экстремума:

• максимум в $x = -2$
• минимум в $x = 2$

Ответ: да

б) Рисунок 50:

График производной:

• Знаки производной меняются в трёх точках:
  • $x = -4$: $f'(x)$ меняется с $+$ на $—$ → максимум
  • $x = 0$: $f'(x)$ меняется с $—$ на $+$ → минимум
  • $x = 3$: $f'(x)$ меняется с $+$ на $—$ → максимум

Вывод:

Три экстремума:

• максимум при $x = -4$
• минимум при $x = 0$
• максимум при $x = 3$

Ответ: да

в) Рисунок 51:

График производной:

• Только в одной точке $x = -6$ наблюдается:
  • $f'(x)$ меняется с $+$ на $—$
    → это признак локального максимума

Вывод:

Одна точка экстремума:

• максимум в $x = -6$

Ответ: да

г) Рисунок 52:

График производной:

• $x = -2.5$:
  • $f'(x)$ меняется с $—$ на $+$ → минимум
• $x = 2.5$:
  • $f'(x)$ меняется с $+$ на $—$ → максимум

Вывод:

Две точки экстремума:

• минимум в $x = -2.5$
• максимум в $x = 2.5$

Ответ: да