ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.45 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = |x — 3| — 2$;

б) $y = \left|\frac{1}{x} — 1\right|$;

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$;

г) $y = (|x| — 2)|x|$

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = |x — 3| — 2$;

Выражение под знаком модуля:
$x — 3 \geq 0$;
$x \geq 3$;

Если $x \geq 3$, тогда:
$y = (x — 3) — 2 = x — 5$;
$y'(x) = (x — 5)’ = 1 > 0$;

Если $x \leq 3$, тогда:
$y = -(x — 3) — 2 = -x + 3 — 2 = 1 — x$;
$y'(x) = (1 — x)’ = -1 < 0$;

Ответ: возрастает на $[3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 3]$;
$x = 3$ — точка минимума.

б) $y = \left|\frac{1}{x} — 1\right|$;

Выражение под знаком модуля:
$\frac{1}{x} — 1 \geq 0$;
$\frac{1 — x}{x} \geq 0$;
$\frac{x — 1}{x} \leq 0$;
$0 < x \leq 1$;

Если $0 < x \leq 1$, тогда:
$y = \frac{1}{x} — 1$;
$y'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ — (1)’ = -\frac{1}{x^2} — 0 = -\frac{1}{x^2} < 0$;

Если $x < 0$ и $x \geq 1$, тогда:
$y = -\left(\frac{1}{x} — 1\right) = 1 — \frac{1}{x}$;
$y'(x) = (1)’ — \left(\frac{1}{x}\right)’ = 0 — \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2} > 0$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$ и убывает на $(0; 1]$;
$x = 1$ — точка минимума.

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$;

Выражение под знаком модуля:
$(x + 3)(x — 2) \geq 0$;
$x \leq -3$ или $x \geq 2$;

Если $x \leq -3$ и $x \geq 2$, тогда:
$y = (x — 2)(x + 3) = x^2 + 3x — 2x — 6 = x^2 + x — 6$;
$y'(x) = (x^2)’ + (x — 6)’ = 2x + 1$;

Промежуток возрастания:
$2x + 1 \geq 0$;
$2x \geq -1$;
$x \geq -0{,}5$;

Если $-3 \leq x \leq 2$, тогда:
$y = -(x — 2)(x + 3) = -x^2 — 3x + 2x + 6 = 6 — x — x^2$;
$y'(x) = (6 — x)’ — (x^2)’ = -1 — 2x$;

Промежуток возрастания:
$-1 — 2x \geq 0$;
$2x \leq -1$;
$x \leq -0{,}5$;

Ответ: возрастает на $[-3; -0{,}5] \cup [2; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -3] \cup [-0{,}5; 2]$;
$x = -3, x = 2$ — точки минимума;
$x = -0{,}5$ — точка максимума.

г) $y = (|x| — 2)|x|$;

Если $x \geq 0$, тогда:
$y = (x — 2)x = x^2 — 2x$;
$y'(x) = (x^2)’ — (2x)’ = 2x — 2$;

Промежуток возрастания:
$2x — 2 \geq 0$;
$2x \geq 2$;
$x \geq 1$;

Если $x \leq 0$, тогда:
$y = (-x — 2) \cdot (-x) = x^2 + 2x$;
$y'(x) = (x^2)’ + (2x)’ = 2x + 2$;

Промежуток возрастания:
$2x + 2 \geq 0$;
$2x \geq -2$;
$x \geq -1$;

Ответ: возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$;
$x = \pm 1$ — точки минимума;
$x = 0$ — точка максимума.

а) $y = |x — 3| — 2$

1. Область определения функции

Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$, потому что модуль определён везде.

2. Раскрываем модуль

Рассматриваем два случая:

Случай 1: $x \geq 3$

Тогда $|x — 3| = x — 3$

$$y = (x — 3) — 2 = x — 5$$

Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x — 5) = 1 \Rightarrow y'(x) > 0 \Rightarrow \text{функция возрастает}$$

Случай 2: $x < 3$

Тогда $|x — 3| = -(x — 3) = -x + 3$

$$y = (-x + 3) — 2 = 1 — x$$

Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(1 — x) = -1 \Rightarrow y'(x) < 0 \Rightarrow \text{функция убывает}$$

3. Исследуем точку перехода $x = 3$

На левой части функция убывает, на правой — возрастает.

Следовательно, в точке $x = 3$ — локальный минимум.

Ответ:

• Возрастает на $[3; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; 3]$
• Точка минимума: $x = 3$

б) $y = \left|\frac{1}{x} — 1\right|$

1. Область определения

Функция определена при $x \ne 0$, так как есть деление на $x$.

$$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

2. Раскрываем модуль

Под знаком модуля: $\frac{1}{x} — 1$

Рассмотрим, при каких $x$ это выражение положительно:

$$\frac{1}{x} — 1 \geq 0 \Rightarrow \frac{1 — x}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{x — 1}{x} \leq 0$$

Решим неравенство $\frac{x — 1}{x} \leq 0$:

• Знаменатель меняет знак в $x = 0$, числитель — в $x = 1$
• Метод интервалов: $x \in (0; 1]$

Случай 1: $x \in (0; 1]$

$$y = \frac{1}{x} — 1$$ $$y'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ — 1′ = -\frac{1}{x^2} < 0 \Rightarrow \text{функция убывает}$$

Случай 2: $x \in (-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$

Тут $\frac{1}{x} — 1 < 0$, значит:

$$y = -\left(\frac{1}{x} — 1\right) = 1 — \frac{1}{x}$$

Производная:

$$y'(x) = 0 — \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2} > 0 \Rightarrow \text{функция возрастает}$$

3. Поведение функции

• Возрастает на $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$
• Убывает на $(0; 1]$

4. Точка минимума

В точке $x = 1$ функция переходит от убывания к возрастанию ⇒ минимум

Ответ:

• Возрастает на $(-\infty; 0) \cup [1; +\infty)$
• Убывает на $(0; 1]$
• Точка минимума: $x = 1$

в) $y = |(x — 2)(x + 3)|$

1. Область определения

Функция определена при всех $x \in \mathbb{R}$

2. Раскрываем модуль

Выражение под модулем: $(x — 2)(x + 3)$

Найдём, где оно ≥ 0:

$$(x — 2)(x + 3) \geq 0 \Rightarrow x \leq -3 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Случай 1: $x \leq -3$ или $x \geq 2$

Тогда:

$$y = (x — 2)(x + 3) = x^2 + x — 6$$

Производная:

$$y'(x) = 2x + 1$$

Промежутки:

• Возрастание при $2x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -0{,}5$

Случай 2: $-3 \leq x \leq 2$

Здесь подмодульное выражение < 0, значит:

$$y = -[(x — 2)(x + 3)] = -x^2 — x + 6$$

Производная:

$$y'(x) = -2x — 1$$

Промежутки:

• Возрастание при $-2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \leq -0{,}5$

3. Поведение функции

• Возрастает на $[-3; -0{,}5] \cup [2; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; -3] \cup [-0{,}5; 2]$

4. Точки экстремума

• $x = -3$, $x = 2$: границы участков с убыванием → точки минимума
• $x = -0{,}5$: производная меняет знак $+ \to —$ и $— \to +$ ⇒ максимум

Ответ:

• Возрастает на $[-3; -0{,}5] \cup [2; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; -3] \cup [-0{,}5; 2]$
• Точки минимума: $x = -3$, $x = 2$
• Точка максимума: $x = -0{,}5$

г) $y = (|x| — 2)|x|$

1. Область определения

Модуль определён везде ⇒ $x \in \mathbb{R}$

2. Раскрытие модулей

Случай 1: $x \geq 0$

Тогда $|x| = x$

$$y = (x — 2)x = x^2 — 2x$$

Производная:

$$y'(x) = 2x — 2$$ $$2x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \Rightarrow \text{возрастает при } x \geq 1, \text{ убывает при } 0 \leq x \leq 1$$

Случай 2: $x \leq 0$

Тогда $|x| = -x$

$$y = (-x — 2)(-x) = x^2 + 2x$$

Производная:

$$y'(x) = 2x + 2$$ $$2x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \Rightarrow \text{возрастает при } -1 \leq x \leq 0, \text{ убывает при } x \leq -1$$

3. Поведение функции

• Возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$

4. Точки экстремума

• $x = -1$, $x = 1$: переход $— \to +$ и $+ \to —$ ⇒ точки минимума
• $x = 0$: производная меняет знак $+ \to —$ ⇒ максимум

Ответ:

• Возрастает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$
• Точки минимума: $x = \pm 1$
• Точка максимума: $x=0$