ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.46 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = |x^3 — 3x|$;

б) $y = |x — x^3|$

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы:

а) $y = |x^3 — 3x|$;

Выражение под знаком модуля:
$x^3 — 3x \geq 0$;
$x(x^2 — 3) \geq 0$;
$(x + \sqrt{3})x(x — \sqrt{3}) \geq 0$;
$-\sqrt{3} \leq x \leq 0$ или $x \geq \sqrt{3}$;

Если $-\sqrt{3} \leq x \leq 0$ и $x \geq \sqrt{3}$, тогда:
$y = x^3 — 3x$;
$y'(x) = (x^3)’ — (3x)’ = 3x^2 — 3$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 3 \geq 0$;
$x^2 — 1 \geq 0$;
$(x + 1)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq 1$;

Если $x \leq -\sqrt{3}$ и $0 \leq x \leq \sqrt{3}$, тогда:
$y = -(x^3 — 3x) = 3x — x^3$;
$y'(x) = (3x)’ — (x^3)’ = 3 — 3x^2$;

Промежуток возрастания:
$3 — 3x^2 \geq 0$;
$1 — x^2 \geq 0$;
$x^2 — 1 \leq 0$;
$-1 \leq x \leq 1$;

Ответ: возрастает на $[-\sqrt{3}; -1] \cup [0; 1] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [-1; 0] \cup [1; \sqrt{3}]$;
$x = -\sqrt{3}, x = 0, x = \sqrt{3}$ — точки минимума;
$x = -1, x = 1$ — точки максимума.

б) $y = |x — x^3|$;

Выражение под знаком модуля:
$x — x^3 \geq 0$;
$x^3 — x \leq 0$;
$x(x^2 — 1) \leq 0$;
$(x + 1)x(x — 1) \leq 0$;
$x \leq -1$ или $0 \leq x \leq 1$;

Если $x \leq -1$ и $0 \leq x \leq 1$, тогда:
$y = x — x^3$;
$y'(x) = (x)’ — (x^3)’ = 1 — 3x^2$;

Промежуток возрастания:
$1 — 3x^2 \geq 0$;
$x^2 — \frac{1}{3} \leq 0$;
$\left(x + \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(x — \frac{\sqrt{3}}{3}\right) \leq 0$;
$-\frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Если $-1 \leq x \leq 0$ и $x \geq 1$, тогда:
$y = -(x — x^3) = x^3 — x$;
$y'(x) = (x^3)’ — (x)’ = 3x^2 — 1$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 1 \geq 0$;
$x^2 — \frac{1}{3} \geq 0$;
$x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3}$ или $x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: возрастает на $\left[-1; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[0; \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup [1; +\infty)$;
убывает на $(-\infty; -1] \cup \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}; 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}; 1\right]$;
$x = -1, x = 0, x = 1$ — точки минимума;
$x = -\frac{\sqrt{3}}{3}, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — точки максимума.

а) $y = |x^3 — 3x|$

1. Область определения

Функция определена при всех значениях $x \in \mathbb{R}$, поскольку модуль определён всюду.

2. Исследуем выражение под модулем

Под модулем: $x^3 — 3x$

Решим неравенство:

$$x^3 — 3x \geq 0 \Rightarrow x(x^2 — 3) \geq 0 \Rightarrow (x + \sqrt{3})x(x — \sqrt{3}) \geq 0$$

Знаки на промежутках:

• $(-\infty; -\sqrt{3})$: $—$
• $[-\sqrt{3}; 0]$: $+$
• $[0; \sqrt{3}]$: $—$
• $[\sqrt{3}; +\infty)$: $+$

Итак:

• $x \in [-\sqrt{3}; 0] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$: $y = x^3 — 3x$
• $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (0; \sqrt{3})$: $y = -(x^3 — 3x) = 3x — x^3$

3. Находим производную в каждом случае

Случай 1: $y = x^3 — 3x$

Производная:

$$y'(x) = 3x^2 — 3$$

Исследуем знак производной:

$$3x^2 — 3 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Тогда:

• Возрастание: $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$
• Убывание: $x \in (-1; 1)$

Но нужно учесть только область, где функция равна $x^3 — 3x$, то есть:

• $x \in [-\sqrt{3}; 0] \Rightarrow \text{функция возрастает на } [-\sqrt{3}; -1]$ и убывает на $[-1; 0]$
• $x \in [\sqrt{3}; +\infty) \Rightarrow \text{функция возрастает при } x \geq 1$, убывает на $[\sqrt{3}; 1]$

Случай 2: $y = 3x — x^3$

Производная:

$$y'(x) = 3 — 3x^2 = 3(1 — x^2)$$

Исследуем знак производной:

$$1 — x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 1 \Rightarrow x \in [-1; 1]$$

Учитываем только область, где функция равна $3x — x^3$, то есть:

• $x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \Rightarrow x < -\sqrt{3} < -1 \Rightarrow \text{убывает}$
• $x \in (0; \sqrt{3}) \Rightarrow \begin{cases} \text{возрастает на } (0; 1] \\ \text{убывает на } [1; \sqrt{3}) \end{cases}$

4. Полный анализ монотонности

5. Точки экстремума

• Минимумы:
  • $x = -\sqrt{3}$: переход от убывания к возрастанию
  • $x = 0$: убывание слева, возрастание справа
  • $x = \sqrt{3}$: убывание слева, возрастание справа
• Максимумы:
  • $x = -1$: возрастание слева, убывание справа
  • $x = 1$: возрастание слева, убывание справа

Ответ:

• Возрастает на: $[-\sqrt{3}; -1] \cup [0; 1] \cup [\sqrt{3}; +\infty)$
• Убывает на: $(-\infty; -\sqrt{3}] \cup [-1; 0] \cup [1; \sqrt{3}]$
• Точки минимума: $x = -\sqrt{3}, x = 0, x = \sqrt{3}$
• Точки максимума: $x = -1, x = 1$

б) $y = |x — x^3|$

1. Область определения

Модуль определён при всех $x \in \mathbb{R}$

2. Исследуем подмодульное выражение

$$x-x^3=x(1-x^2)\Rightarrow x(x-1)(x+1)\le 0\Rightarrow$$

$$x — x^3 = x(1 — x^2) \Rightarrow x(x — 1)(x + 1) \leq 0 \Rightarrow \text{по методу интервалов: } x \leq -1 \quad \text{или} \quad 0 \leq x \leq 1$$

3. Раскрытие модуля

• $x \in (-\infty; -1] \cup [0; 1] \Rightarrow y = x — x^3$
• $x \in [-1; 0] \cup [1; +\infty) \Rightarrow y = -(x — x^3) = x^3 — x$

4. Производная по кускам

Случай 1: $y = x — x^3$

$$y'(x) = 1 — 3x^2 \Rightarrow 1 — 3x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq \frac{1}{3} \Rightarrow x \in \left[ -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \right]$$

Случай 2: $y = x^3 — x$

$$y'(x) = 3x^2 — 1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq \frac{1}{3} \Rightarrow x \leq -\frac{\sqrt{3}}{3} \quad \text{или} \quad x \geq \frac{\sqrt{3}}{3}$$

5. Поведение функции

6. Точки экстремума

• Минимумы: переход от убывания к возрастанию:
  • $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$
• Максимумы: переход от возрастания к убыванию:
  • $x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

• Возрастает на: $\left[-1; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[0; \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup [1; +\infty)$
• Убывает на: $(-\infty; -1] \cup \left[-\frac{\sqrt{3}}{3}; 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}; 1\right]$
• Точки минимума: $x = -1, x = 0, x = 1$
• Точки максимума: $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$