ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определите, для какой из функций у = f(x), у = g(x), у = h(x) отрезок [-1; 1] является промежутком возрастания, если на рисунках 54—56 изображены графики производных этих функций.

На рисунках 54 – 56 изображены графики производных функций
$y = f(x),\ y = g(x),\ y = h(x)$;

а) Рисунок 54:
Производная отрицательна на отрезке $[-1; 1]$;
Функция $y = f(x)$ убывает на данном отрезке;

б) Рисунок 55:
Производная положительна на отрезке $[-1; 1]$;
Функция $y = g(x)$ возрастает на данном отрезке;

в) Рисунок 56:
Производная имеет различный знак на отрезке $[-1; 1]$;
Функция $y = h(x)$ не монотонна на данном отрезке;

Ответ: $y = g(x)$.

График производной $y = f'(x)$ показывает:

• Где функция $f(x)$ возрастает: там, где $f'(x) > 0$ (график выше оси $x$);
• Где функция убывает: там, где $f'(x) < 0$ (график ниже оси $x$);
• Где функция не монотонна: если производная меняет знак, т.е. есть переход от $+$ к $—$ или наоборот.

На рисунках 54–56 даны графики производных трёх функций:

• $y = f(x)$,
• $y = g(x)$,
• $y = h(x)$.

Нужно определить:

• На каком отрезке производная отрицательна;
• Где она положительна;
• Где меняет знак.

И по этому — выбрать функцию, которая возрастает на отрезке $[-1; 1]$.

а) Рисунок 54

Производная отрицательна на отрезке $[-1; 1]$.

Значит:
На всём отрезке график производной ниже оси $x$
$\Rightarrow$ $f'(x) < 0$ при $x \in [-1; 1]$

Следствие:
Функция $f(x)$ убывает на всём отрезке $[-1; 1]$.

б) Рисунок 55

Производная положительна на отрезке $[-1; 1]$.

Значит:
На всём отрезке график производной выше оси $x$
$\Rightarrow$ $g'(x) > 0$ при $x \in [-1; 1]$

Следствие:
Функция $g(x)$ возрастает на всём отрезке $[-1; 1]$.

в) Рисунок 56

Производная имеет разный знак на отрезке $[-1; 1]$:

• Например:
  • На участке $[-1; 0)$: $h'(x) > 0$,
  • На участке $(0; 1]$: $h'(x) < 0$,
  • Или наоборот.

Значит:
Производная меняет знак — т.е. функция то возрастает, то убывает.

Следствие:
Функция $h(x)$ не монотонна на отрезке $[-1; 1]$.

Что требуется?

Найти функцию, которая возрастает на отрезке $[-1; 1]$.

• $f(x)$ — убывает
• $g(x)$ — возрастает
• $h(x)$ — не монотонна

Окончательный ответ:

$$\boxed{y = g(x)}$$

Это и есть верный выбор, так как только функция $g(x)$ возрастает на отрезке $[-1; 1]$.