ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На рисунках 57—59 изображены графики производных функций у = f(x), у = g(x), у = h(x). Определите, какая из функций у = f(x), у = g(x), у = h(x):

а) возрастает на R;

б) убывает на R.

На рисунках 57 – 59 изображены графики производных функций
$y = f(x),\ y = g(x),\ y = h(x)$;

Рисунок 57:
Производная положительна на множестве $\mathbb{R}$;
Функция $y = f(x)$ монотонно возрастает;

Рисунок 58:
Производная имеет различный знак на множестве $\mathbb{R}$;
Функция $y = g(x)$ не является монотонной;

Рисунок 59:
Производная отрицательна на множестве $\mathbb{R}$;
Функция $y = h(x)$ монотонно убывает;

Ответ:
а) $y = f(x)$;
б) $y = h(x)$.

Если известен график производной $y = f'(x)$, то:

• Если $f'(x) > 0$ на всём промежутке — функция монотонно возрастает;
• Если $f'(x) < 0$ на всём промежутке — функция монотонно убывает;
• Если $f'(x)$ меняет знак, то функция не монотонна (она где-то возрастает, а где-то убывает);
• В точках, где $f'(x) = 0$, могут находиться экстремумы.

Рисунок 57

Производная положительна на множестве $\mathbb{R}$

• Это означает, что график производной лежит выше оси Ox на всей числовой прямой.
• То есть: $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Следствие:

• Функция $f(x)$ монотонно возрастает на всём $\mathbb{R}$.

Рисунок 58

Производная имеет различный знак на множестве $\mathbb{R}$

• Значит, на каких-то интервалах производная положительна, а на других — отрицательна.
• То есть: $g'(x) > 0$ при одних $x$, и $g'(x) < 0$ при других.

Следствие:

• Функция $g(x)$ не является монотонной, т.к. она и возрастает, и убывает на разных промежутках.
• В точках смены знака у неё возможны экстремумы.

Рисунок 59

Производная отрицательна на множестве $\mathbb{R}$

• То есть: $h'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
• График производной ниже оси Ox на всём множестве.

Следствие:

• Функция $h(x)$ монотонно убывает на всём $\mathbb{R}$.

а) Какая функция монотонно возрастает?

Это $f(x)$, так как её производная положительна при всех $x$.
Ответ: $y = f(x)$

б) Какая функция монотонно убывает?

Это $h(x)$, так как её производная отрицательна при всех $x$.
Ответ: $y=h(x)$