ГДЗ 10-11 Класс Номер 30.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $y = \cos x + 2x$;

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;

в) $y = \sin x + x^3 + x$;

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$

Доказать, что заданная функция возрастает:

а) $y = \cos x + 2x$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (\cos x)’ + (2x)’ = -\sin x + 2 > 0$;
$-1 \leq \sin x \leq 1,\ (2 — \sin x) \geq 1$;
Что и требовалось доказать.

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (x^5)’ + 3(x^3)’ + (7x + 4)’$;
$y'(x) = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 + 7 = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0$;
$x^4 \geq 0,\ x^2 \geq 0$;
Что и требовалось доказать.

в) $y = \sin x + x^3 + x$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (\sin x)’ + (x^3)’ + (x)’$;
$y'(x) = \cos x + 3x^2 + 1 = (1 + \cos x) + 3x^2 \geq 0$;
$-1 \leq \cos x \leq 1,\ (1 + \cos x) \geq 0,\ x^2 \geq 0$;
Что и требовалось доказать.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$;
Производная неотрицательна при $x \in \mathbb{R}$:
$y'(x) = (x^5)’ + 4(x^3)’ + (8x — 8)’$;
$y'(x) = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 + 8 = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0$;
$x^4 \geq 0,\ x^2 \geq 0$;
Что и требовалось доказать.

Функция $y = f(x)$ возрастает на множестве $D \subset \mathbb{R}$, если:

$$\forall x_1, x_2 \in D, \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

Достаточное условие возрастания:

Если $f'(x) > 0$ на всём множестве $D$, то функция $f(x)$ строго возрастает на $D$.
Если $f'(x) \geq 0$, то она неубывающая.

Наша задача — вычислить производную функции и доказать, что она неотрицательна при всех $x \in \mathbb{R}$.

а) $y = \cos x + 2x$

1. Находим производную:

$$y'(x) = (\cos x)’ + (2x)’ = -\sin x + 2$$

2. Исследуем знак производной:

Из свойств функции $\sin x$:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \Rightarrow -\sin x \in [-1, 1]$$

Значит:

$$y'(x) = -\sin x + 2 \in [1, 3] \Rightarrow y'(x) \geq 1 > 0$$

Вывод:

Производная положительна при всех $x \in \mathbb{R}$,
значит, функция строго возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$

1. Находим производную:

Используем стандартные правила дифференцирования:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) + 3\cdot \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(7x + 4)$$ $$y'(x) = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 + 7 = 5x^4 + 9x^2 + 7$$

2. Анализ производной:

• $x^2 \geq 0 \Rightarrow 9x^2 \geq 0$
• $x^4 \geq 0 \Rightarrow 5x^4 \geq 0$
• $7 > 0$

Сумма трёх неотрицательных слагаемых, из которых одно строго положительно.

$$y'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7 \geq 7 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Производная положительна для всех $x \in \mathbb{R}$,
значит, функция строго возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = \sin x + x^3 + x$

1. Находим производную:

$$y'(x) = (\sin x)’ + (x^3)’ + (x)’ = \cos x + 3x^2 + 1$$

2. Анализ производной:

• Известно, что $-1 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow (1 + \cos x) \in [0, 2]$
• $x^2 \geq 0 \Rightarrow 3x^2 \geq 0$

Следовательно:

$$y'(x) = (1 + \cos x) + 3x^2 \geq 0$$

Причём $y'(x) = 0$ только если одновременно:

• $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$
• $x = 0$

Нет значения $x$, при котором оба условия выполняются,
поэтому $y'(x) > 0$ почти всюду.

Вывод:

Производная неотрицательна на всей числовой прямой,
значит, функция неубывает на $\mathbb{R}$.
Поскольку она почти везде положительна, то она строго возрастает.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x — 8$

1. Находим производную:

$$y'(x) = (x^5)’ + 4(x^3)’ + (8x)’ — (8)’ = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 + 8 = 5x^4 + 12x^2 + 8$$

2. Анализ производной:

• $x^4 \geq 0 \Rightarrow 5x^4 \geq 0$
• $x^2 \geq 0 \Rightarrow 12x^2 \geq 0$
• $8 > 0$

Сумма неотрицательных чисел, включая положительное слагаемое:

$$y'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8 \geq 8 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Вывод:

Производная положительна при всех $x \in \mathbb{R}$,
значит, функция строго возрастает на всей области определения.