ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

а) ${}^{}$$x^3 + 5 = 15 — x$;

б) ${}^{}$$x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$;

в) $\mathrm{}$$2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$;

г) ${}^{}$$x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$

Решить уравнение с помощью исследования функций на монотонность:

а) ${}^{}$$x^3 + 5 = 15 — x$;

Разделим уравнение на две функции:
$f(x) = x^3 + 5$;
$g(x) = 15 — x$;

Производные данных функций:
$f'(x) = (x^3)’ + (5)’ = 3x^2 + 0 = 3x^2 \geq 0$;
$g'(x) = (15 — x)’ = -1 < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(2) = 2^3 + 5 = 8 + 5 = 13$;
$g(2) = 15 — 2 = 13$;

Ответ: 2.

б) ${}^{}$$x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$;
$x^5 + 3x^3 = 11 — 7x$;

Разделим уравнение на две функции:
$f(x) = x^5 + 3x^3$;
$g(x) = 11 — 7x$;

Производные данных функций:
$f'(x) = (x^5)’ + 3(x^3)’ = 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = 5x^4 + 9x^2 \geq 0$;
$g'(x) = (11 — 7x)’ = -7 < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 = 1 + 3 = 4$;
$g(1) = 11 — 7 \cdot 1 = 11 — 7 = 4$;

Ответ: 1.

в) $\mathrm{}$$2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$;

Разделим уравнение на две функции:
$f(x) = 2x^5 + 3x^3$;
$g(x) = 17 — 12x$;

Производные данных функций:
$f'(x) = 2(x^5)’ + 3(x^3)’ = 2 \cdot 5x^4 + 3 \cdot 3x^2 = 10x^4 + 9x^2 \geq 0$;
$g'(x) = (17 — 12x)’ = -12 < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 = 2 + 3 = 5$;
$g(1) = 17 — 12 \cdot 1 = 17 — 12 = 5$;

Ответ: 1.

г) ${}^{}$$x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$;
$x^5 + 4x^3 = 13 — 8x$;

Разделим уравнение на две функции:
$f(x) = x^5 + 4x^3$;
$g(x) = 13 — 8x$;

Производные данных функций:
$f'(x) = (x^5)’ + 4(x^3)’ = 5x^4 + 4 \cdot 3x^2 = 5x^4 + 12x^2 \geq 0$;
$g'(x) = (13 — 8x)’ = -8 < 0$;

Методом перебора найдем решение:
$f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 = 1 + 4 = 5$;
$g(1) = 13 — 8 \cdot 1 = 13 — 8 = 5$;

Ответ: 1.

а) Уравнение $x^3 + 5 = 15 — x$

1) Представим уравнение как равенство двух функций

$$f(x) = x^3 + 5,\quad g(x) = 15 — x$$

Решаем уравнение:

$$f(x) = g(x)$$

2) Исследуем функции на монотонность

Функция $f(x) = x^3 + 5$:

$$f'(x) = 3x^2 \geq 0 \text{ при всех } x$$

Значит, $f(x)$ — неубывающая, а на любом интервале $x \neq 0$ — строго возрастающая.

Функция $g(x) = 15 — x$:

$$g'(x) = -1 < 0$$

Функция строго убывает.

3) Вывод из монотонности

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, графики этих функций могут пересечься только в одной точке.
Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

4) Подбор корня

Проверим $x = 2$:

$$f(2) = 8 + 5 = 13, \quad g(2) = 15 — 2 = 13$$

Обе функции дают одно и то же значение. Значит, $x = 2$ — корень.

Ответ: $\boxed{2}$

б) Уравнение $x^5 + 3x^3 + 7x — 11 = 0$

Перепишем:

$$x^5 + 3x^3 = 11 — 7x$$

1) Введём функции

$$f(x) = x^5 + 3x^3, \quad g(x) = 11 — 7x$$

2) Производные

$$f'(x) = 5x^4 + 9x^2 \geq 0 \text{ при всех } x, \text{ равна 0 только при } x = 0$$

Функция $f(x)$ неубывающая, возрастает при $x \neq 0$

$$g'(x) = -7 < 0 \Rightarrow \text{функция убывает}$$

3) Вывод

Так как одна функция возрастает, другая убывает — решение уравнения может быть только одно.

4) Подбор корня

Проверим $x = 1$:

$$f(1) = 1 + 3 = 4, \quad g(1) = 11 — 7 = 4$$

Равенство выполнено. Значит, $x = 1$ — решение.

Ответ: $\boxed{1}$

в) Уравнение $2x^5 + 3x^3 = 17 — 12x$

1) Введём функции

$$f(x) = 2x^5 + 3x^3, \quad g(x) = 17 — 12x$$

2) Производные

$$f'(x) = 10x^4 + 9x^2 \geq 0, \text{ равна 0 только при } x = 0 \Rightarrow f(x) \text{ возрастает при } x \neq 0$$ $$g'(x) = -12 < 0 \Rightarrow \text{убывает}$$

3) Вывод

Функция $f(x)$ возрастает, $g(x)$ убывает
⇒ уравнение имеет единственное решение

4) Подбор корня

Проверим $x = 1$:

$$f(1) = 2 + 3 = 5, \quad g(1) = 17 — 12 = 5$$

Уравнение выполнено.

Ответ: $\boxed{1}$

г) Уравнение $x^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0$

Перепишем:

$$x^5 + 4x^3 = 13 — 8x$$

1) Введём функции

$$f(x) = x^5 + 4x^3, \quad g(x) = 13 — 8x$$

2) Производные

$$f'(x) = 5x^4 + 12x^2 \geq 0, \text{ равна 0 только при } x = 0 \Rightarrow f(x) \text{ возрастает при } x \neq 0$$ $$g'(x) = -8 < 0 \Rightarrow \text{убывает}$$

3) Вывод

Одна функция возрастает, вторая убывает ⇒ уравнение имеет один корень

4) Подбор корня

Проверим $x = 1$:

$$f(1) = 1 + 4 = 5, \quad g(1) = 13 — 8 = 5$$

Равенство выполнено. Значит, $x = 1$ — корень.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$