ГДЗ 10-11 Класс Номер 31.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Постройте график функции:

а) $y = -x^4 + 5x^2 — 4$;

б) $y = x^5 — 5x$;

в) $y = 2x^4 — 9x^2 + 7$;

г) $y = 5x^3 — 3x^5$

Построить график функции:

а) $y = -x^4 + 5x^2 — 4$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция является четной:
$y(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 — 4 = -x^4 + 5x^2 — 4 = y(x)$;

Производная функции:
$y'(x) = -(x^4)’ + 5(x^2)’ — (4)’$;
$y'(x) = -4x^3 + 5 \cdot 2x — 0 = 10x — 4x^3$;

Промежуток возрастания:
$10x — 4x^3 \geq 0$;
$4x^3 — 10x \leq 0$;
$2x(2x^2 — 5) \leq 0$;
$(\sqrt{2}x + \sqrt{5})(\sqrt{2}x — \sqrt{5}) \leq 0$;
$x \leq -\sqrt{2,5}$ или $0 \leq x \leq \sqrt{2,5}$;
$x = 0$ — точка минимума;
$x = \pm \sqrt{2,5}$ — точки максимума;
$y_{min} = -0^4 + 5 \cdot 0^2 — 4 = -4$;
$y_{max} = -(\pm \sqrt{2,5})^4 + 5(\pm \sqrt{2,5})^2 — 4 = -6,25 + 12,5 — 4 = 2,25$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

б) $y = x^5 — 5x$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция является нечетной:
$y(-x) = (-x)^5 — 5(-x) = -x^5 + 5x = -y(x)$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^5)’ — (5x)’ = 5x^4 — 5$;

Промежуток возрастания:
$5x^4 — 5 \geq 0$;
$(x^2 — 1) \geq 0$;
$(x + 1)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq 1$;
$x = 1$ — точка минимума;
$x = -1$ — точка максимума;
$y_{min} = 1^5 — 5 \cdot 1 = 1 — 5 = -4$;
$y_{max} = (-1)^5 — 5 \cdot (-1) = -1 + 5 = 4$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

в) $y = 2x^4 — 9x^2 + 7$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция является четной:
$y(-x) = 2(-x)^4 — 9(-x)^2 + 7 = 2x^4 — 9x^2 + 7$;

Производная функции:
$y'(x) = 2(x^4)’ — 9(x^2)’ + (7)’$;
$y'(x) = 2 \cdot 4x^3 — 9 \cdot 2x + 0 = 8x^3 — 18x$;

Промежуток возрастания:
$8x^3 — 18x \geq 0$;
$2x(4x^2 — 9) \geq 0$;
$(2x + 3)x(2x — 3) \geq 0$;
$-1,5 \leq x \leq 0$ или $x \geq 1,5$;
$x = \pm 1,5$ — точки минимума;
$x = 0$ — точка максимума;
$y_{min} = 2(\pm 1,5)^4 — 9(\pm 1,5)^2 + 7 = 10,125 — 20,25 + 7 = -3,125$;
$y_{max} = 2 \cdot 0^4 — 9 \cdot 0^2 + 7 = 7$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

г) $y = 5x^3 — 3x^5$;

Область определения функции:
$D(y) = (-\infty; +\infty)$;

Функция является нечетной:
$y(-x) = 5(-x)^3 — 3(-x)^5 = -5x^3 + 3x^5 = -y(x)$;

Производная функции:
$y'(x) = -5(x^3)’ + 3(x^5)’$;
$y'(x) = -5 \cdot 3x^2 + 3 \cdot 5x^4 = 15x^4 — 15x^2$;

Промежуток возрастания:
$15x^4 — 15x^2 \geq 0$;
$15x^2 \cdot (x^2 — 1) \geq 0$;
$(x + 1)(x — 1) \geq 0$;
$x \leq -1$ или $x \geq 1$;
$x = 0$ — стационарная точка;
$x = 1$ — точка минимума;
$x = -1$ — точка максимума;
$y_{min} = 5 \cdot 1^3 — 3 \cdot 1^5 = 5 — 3 = 2$;
$y_{max} = 5 \cdot (-1)^3 — 3 \cdot (-1)^5 = -5 + 3 = -2$;

Координаты некоторых точек:

График функции:

а) Функция:

$$y = -x^4 + 5x^2 — 4$$

Шаг 1. Область определения

Функция является многочленом четвёртой степени.
Многочлены определены при любых $x \in \mathbb{R}$.
Ответ:

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

Шаг 2. Чётность функции

Проверим значение функции при $-x$:

$$y(-x) = -(-x)^4 + 5(-x)^2 — 4 = -x^4 + 5x^2 — 4 = y(x)$$

Вывод: функция чётная.
График будет симметричен относительно оси $Oy$.

Шаг 3. Производная

Найдём первую производную:

$$y(x) = -x^4 + 5x^2 — 4 \Rightarrow y'(x) = -4x^3 + 10x = 10x — 4x^3$$

Шаг 4. Экстремумы и промежутки монотонности

Решим неравенство:

$$y'(x) = 10x — 4x^3 \geq 0 \Rightarrow 4x^3 — 10x \leq 0 \Rightarrow 2x(2x^2 — 5) \leq 0$$

Решим неравенство:

• $2x(2x^2 — 5) \leq 0$

Корни:

• $x = 0$
• $2x^2 — 5 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2.5}$

Промежутки:

• На $(-\infty; -\sqrt{2.5})$: знак минус ⇒ функция убывает
• На $[-\sqrt{2.5}; 0]$: знак плюс ⇒ функция возрастает
• На $[0; \sqrt{2.5}]$: знак плюс ⇒ функция возрастает
• На $(\sqrt{2.5}; +\infty)$: знак минус ⇒ функция убывает

Вывод:

• Функция имеет локальный минимум в $x = 0$
• Локальные максимумы в точках $x = -\sqrt{2.5}$, $x = \sqrt{2.5}$

Шаг 5. Значения функции в точках экстремума

Минимум:

$$y(0) = -0^4 + 5 \cdot 0^2 — 4 = -4$$

Максимум:

Пусть $x = \sqrt{2.5}$, тогда:

• $x^2 = 2.5$
• $x^4 = (x^2)^2 = 6.25$

$$y = -6.25 + 12.5 — 4 = 2.25$$

Аналогично для $x = -\sqrt{2.5}$, так как функция чётная.

Шаг 6. Таблица значений функции

Шаг 7. Описание графика

• График симметричен относительно оси $y$.
• Максимумы по бокам от оси $y$, в точках $x = \pm \sqrt{2.5}$
• Минимум в точке $x = 0$, значение $y = -4$
• Форма графика напоминает «двугорбую» параболу, прижатую вниз: убывает, растёт, затем снова убывает.

б) Функция:

$$y = x^5 — 5x$$

Шаг 1. Область определения

Многочлен пятой степени — определён при всех $x$.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

Шаг 2. Нечётность функции

$$y(-x) = (-x)^5 — 5(-x) = -x^5 + 5x = — (x^5 — 5x) = -y(x)$$

Вывод: функция нечётная
График симметричен относительно начала координат.

Шаг 3. Производная

$$y'(x) = 5x^4 — 5$$

Решим неравенство:

$$5x^4 — 5 \geq 0 \Rightarrow x^4 \geq 1 \Rightarrow |x| \geq 1$$

Промежутки:

• Убывает на $(-1; 1)$
• Возрастает на $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Шаг 4. Экстремумы

При $x = 1$:

$$y = 1 — 5 = -4 \Rightarrow \text{локальный минимум}$$

При $x = -1$:

$$y = -1 + 5 = 4 \Rightarrow \text{локальный максимум}$$

Шаг 5. Таблица значений

Шаг 6. Описание графика

• График нечётный, симметричен относительно начала координат.
• Имеет максимум в точке $x = -1$, значение $y = 4$
• Минимум в точке $x = 1$, значение $y = -4$
• График напоминает продолговатую S-образную кривую, пересекающую ось $x$ в трёх точках: $x = 0$, $x = \sqrt{5}$, $x = -\sqrt{5}$

в) Функция:

$$y = 2x^4 — 9x^2 + 7$$

Шаг 1. Область определения

Функция — многочлен ⇒ определена на всей числовой прямой.

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

Шаг 2. Чётность

$$y(-x) = 2x^4 — 9x^2 + 7 = y(x) \Rightarrow \text{функция чётная}$$

Шаг 3. Производная

$$y'(x) = 8x^3 — 18x = 2x(4x^2 — 9)$$

Решим:

$$2x(4x^2 — 9) \geq 0 \Rightarrow (2x + 3)(2x — 3)x \geq 0$$

Корни:

• $x = 0$, $x = \pm 1.5$

Промежутки:

• Возрастает: $[-1.5; 0] \cup [1.5; +\infty)$
• Убывает: $(-\infty; -1.5] \cup [0; 1.5]$

Шаг 4. Экстремумы

Максимум в $x = 0$:

$$y = 2 \cdot 0^4 — 9 \cdot 0^2 + 7 = 7$$

Минимум в $x = \pm 1.5$:

• $x^2 = 2.25$, $x^4 = 5.0625$
• $y = 2 \cdot 5.0625 — 9 \cdot 2.25 + 7 = 10.125 — 20.25 + 7 = -3.125$

Шаг 5. Таблица значений

Шаг 6. Описание графика

• График чётный, симметричен относительно оси $Oy$
• Имеет максимум в центре ($x = 0$, $y = 7$)
• Имеет две симметричные точки минимума при $x = \pm 1.5$, $y = -3.125$
• График напоминает двугорбую параболу, но с максимумом в середине и минимумами по бокам

г) Функция:

$$y = 5x^3 — 3x^5$$

Шаг 1. Область определения

Многочлен ⇒ определён всюду:

$$D(y) = (-\infty; +\infty)$$

Шаг 2. Нечётность

$$y(-x) = -5x^3 + 3x^5 = -y(x) \Rightarrow \text{функция нечётная}$$

Шаг 3. Производная

$$y'(x) = 15x^2 — 15x^4 = 15x^2(1 — x^2)$$

Промежутки:

• Производная $\geq 0$ при $|x| \leq 1$
• Производная $< 0$ при $|x| > 1$

Функция возрастает: $[-1; 1]$
Функция убывает: $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$

Шаг 4. Экстремумы

Максимум в $x = -1$:

$$y = -5 + 3 = -2$$

Минимум в $x = 1$:

$$y = 5 — 3 = 2$$

Шаг 5. Таблица значений

Шаг 6. Описание графика

• Нечётная функция, симметрична относительно начала координат
• Имеет максимум в $x = -1$, минимум в $x = 1$
• Функция убывает на концах, растёт в центральной части
• Форма графика — плавная кривая с тремя перегибами, напоминающая «S» перевёрнутую по вертикали