ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = 3x — 6, \ [-1; 4]$;

б) $y = -\frac{8}{x}, \ \left[\frac{1}{4}; 8\right]$;

в) $y = -0,5x + 4, \ [-2; 6]$;

г) $y = \frac{3}{x}, \ [0,3; 2]$

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = 3x — 6, \ [-1; 4]$;
Производная функции:
$y'(x) = (3x — 6)’ = 3 > 0$;
Значения функции:
$y(-1) = 3 \cdot (-1) — 6 = -3 — 6 = -9$;
$y(4) = 3 \cdot 4 — 6 = 12 — 6 = 6$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -9; \ y_{\text{наиб}} = 6$.

б) $y = -\frac{8}{x}, \ \left[\frac{1}{4}; 8\right]$;
Производная функции:
$y'(x) = -8\left(\frac{1}{x}\right)’ = -8 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{8}{x^2} > 0$;
Выражение имеет смысл при:
$x \ne 0$;
Значения функции:
$y\left(\frac{1}{4}\right) = -8 \cdot \frac{1}{\frac{1}{4}} = -8 \cdot 4 = -32$;
$y(8) = -\frac{8}{8} = -1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -32; \ y_{\text{наиб}} = -1$.

в) $y = -0,5x + 4, \ [-2; 6]$;
Производная функции:
$y'(x) = (-0,5x + 4)’ = -0,5 < 0$;
Значения функции:
$y(-2) = -0,5 \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5$;
$y(6) = -0,5 \cdot 6 + 4 = -3 + 4 = 1$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1; \ y_{\text{наиб}} = 5$.

г) $y = \frac{3}{x}, \ [0,3; 2]$;
Производная функции:
$y'(x) = 3\left(\frac{1}{x}\right)’ = 3 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{3}{x^2} < 0$;
Выражение имеет смысл при:
$x \ne 0$;
Значения функции:
$y(0,3) = \frac{3}{0,3} = \frac{30}{3} = 10$;
$y(2) = \frac{3}{2} = 1,5$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 1,5; \ y_{\text{наиб}} = 10$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.

а) $y = 3x — 6$, отрезок $[-1; 4]$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$y(x) = 3x — 6 \Rightarrow y'(x) = (3x)’ — (6)’ = 3 — 0 = 3$$

Вывод:
Производная положительная: $y'(x) = 3 > 0$.
Это значит, что функция возрастает на всей числовой прямой, в том числе и на отрезке $[-1; 4]$.

Шаг 2. Так как функция возрастает, то:

• наименьшее значение достигается в левом конце отрезка: $x = -1$,
• наибольшее значение — в правом конце отрезка: $x = 4$.

Шаг 3. Подставим значения:

$$y(-1) = 3 \cdot (-1) — 6 = -3 — 6 = -9$$ $$y(4) = 3 \cdot 4 — 6 = 12 — 6 = 6$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -9; \quad y_{\text{наиб}} = 6$$

б) $y = -\frac{8}{x}$, отрезок $\left[\frac{1}{4}; 8\right]$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$y(x) = -\frac{8}{x} = -8x^{-1} \Rightarrow y'(x) = -8 \cdot (-1) x^{-2} = \frac{8}{x^2}$$

Вывод:
Производная положительная на всём промежутке, так как $x^2 > 0$ при $x \ne 0$.
$\Rightarrow y'(x) > 0 \Rightarrow$ функция возрастает на всём отрезке $\left[\frac{1}{4}; 8\right]$.

Шаг 2. Значит:

• наименьшее значение — в начале отрезка: $x = \frac{1}{4}$,
• наибольшее значение — в конце: $x = 8$.

Шаг 3. Подставим значения:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{8}{\frac{1}{4}} = -8 \cdot 4 = -32$$ $$y(8) = -\frac{8}{8} = -1$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -32; \quad y_{\text{наиб}} = -1$$

в) $y = -0{,}5x + 4$, отрезок $[-2; 6]$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y(x) = -0{,}5x + 4 \Rightarrow y'(x) = (-0{,}5x)’ + (4)’ = -0{,}5 + 0 = -0{,}5$$

Вывод:
Производная отрицательная: $y'(x) = -0{,}5 < 0$.
Значит, функция убывает на всём отрезке $[-2; 6]$.

Шаг 2. Значит:

• наибольшее значение — в начале отрезка: $x = -2$,
• наименьшее значение — в конце отрезка: $x = 6$.

Шаг 3. Подставим значения:

$$y(-2) = -0{,}5 \cdot (-2) + 4 = 1 + 4 = 5$$ $$y(6) = -0{,}5 \cdot 6 + 4 = -3 + 4 = 1$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1; \quad y_{\text{наиб}} = 5$$

г) $y = \frac{3}{x}$, отрезок $[0{,}3; 2]$

Шаг 1. Найдём производную:

$$y(x) = \frac{3}{x} = 3x^{-1} \Rightarrow y'(x) = 3 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{3}{x^2}$$

Вывод:
Производная отрицательная: $y'(x) = -\frac{3}{x^2} < 0$ при $x \ne 0$.
Значит, функция убывает на всём отрезке $[0{,}3; 2]$.

Шаг 2. Значит:

• наибольшее значение — в начале отрезка: $x = 0{,}3$,
• наименьшее значение — в конце отрезка: $x = 2$.

Шаг 3. Подставим значения:

$$y(0{,}3) = \frac{3}{0{,}3} = \frac{30}{3} = 10$$ $$y(2) = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1{,}5; \quad y_{\text{наиб}} = 10$$