ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$$$

$$y=x+\frac{4}{x-1}$$

на отрезке:

а) [2; 4];

б) [-2; 0].

Дана функция:

$$y = x + \frac{4}{x — 1}$$

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ + 4\left(\frac{1}{x-1}\right)’ = 1 + 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right);$$ $$y'(x) = \frac{(x-1)^2 — 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 — 2x + 1 — 4}{(x-1)^2} = \frac{x^2 — 2x — 3}{(x-1)^2};$$

Стационарные точки:

$$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \ne 1;$$

а) На отрезке $[2; 4]$:

$$y(2) = 2 + \frac{4}{2 — 1} = 2 + \frac{4}{1} = 2 + 4 = 6;$$ $$y(3) = 3 + \frac{4}{3 — 1} = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5;$$ $$y(4) = 4 + \frac{4}{4 — 1} = 4 + \frac{4}{3} = 4 + 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{3};$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 6; \quad y_{\text{наиб}} = 5.$$

б) На отрезке $[-2; 0]$:

$$y(-2) = -2 + \frac{4}{-2 — 1} = -2 — \frac{4}{3} = -2 — 1\frac{1}{3} = -3\frac{1}{3};$$ $$y(-1) = -1 + \frac{4}{-1 — 1} = -1 — \frac{4}{2} = -1 — 2 = -3;$$ $$y(0) = 0 + \frac{4}{0 — 1} = \frac{4}{-1} = -4;$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -4; \quad y_{\text{наиб}} = -3.$$

Дана функция:

$$y = x + \frac{4}{x — 1}$$

Нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных отрезках.

Шаг 1: Найдём производную функции

Используя стандартные правила дифференцирования, находим производную:

$$y(x) = x + \frac{4}{x — 1}$$

Продифференцируем по частям:

1. Производная от $x$ равна 1:

   $$\frac{d}{dx}(x) = 1$$

2. Производная от $\frac{4}{x — 1}$:
   Используем правило дифференцирования дроби: $\frac{d}{dx}\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{B \cdot A’ — A \cdot B’}{B^2}$, где $A = 4$ и $B = x — 1$, поэтому:

   $$\frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x — 1}\right) = -\frac{4}{(x — 1)^2}$$

Теперь сложим обе производные:

$$y'(x) = 1 — \frac{4}{(x — 1)^2}$$

Чтобы упростить, представим результат в виде дроби:

$$y'(x) = \frac{(x — 1)^2 — 4}{(x — 1)^2}$$

Упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{x^2 — 2x + 1 — 4}{(x — 1)^2} = \frac{x^2 — 2x — 3}{(x — 1)^2}$$

Шаг 2: Найдём стационарные точки

Для нахождения стационарных точек, приравняем производную к нулю:

$$\frac{x^2 — 2x — 3}{(x — 1)^2} = 0$$

Это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Решим это квадратное уравнение:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 — 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$$ $$x = \frac{2 \pm 4}{2}$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Шаг 3: Анализ функции на отрезках

а) На отрезке $[2; 4]$

Сначала проверим, что $x = 3$ входит в этот отрезок. Поскольку $3 \in [2; 4]$, эта точка является стационарной точкой. Нам нужно проверить значения функции в точках $x = 2$, $x = 3$ и $x = 4$.

Вычислим значения функции:

1. $y(2) = 2 + \frac{4}{2 — 1} = 2 + 4 = 6$
2. $y(3) = 3 + \frac{4}{3 — 1} = 3 + 2 = 5$
3. $y(4) = 4 + \frac{4}{4 — 1} = 4 + \frac{4}{3} = 4 + 1\frac{1}{3} = 5\frac{1}{3}$

Ответ:
Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = 6$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}} = 5$

б) На отрезке $[-2; 0]$

Здесь $x = -1$ — стационарная точка. Проверим значения функции в точках $x = -2$, $x = -1$ и $x = 0$.

Вычислим значения функции:

1. $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2 — 1} = -2 — \frac{4}{3} = -3\frac{1}{3}$
2. $y(-1) = -1 + \frac{4}{-1 — 1} = -1 — \frac{4}{2} = -1 — 2 = -3$
3. $y(0) = 0 + \frac{4}{0 — 1} = -4$

Ответ:
Наименьшее значение: $y_{\text{наим}} = -4$
Наибольшее значение: $y_{\text{наиб}}=-3$