ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) $y = \ctg\,x + x,\; x \in \left[\frac{\pi}{4};\; \frac{3\pi}{4}\right];$

б) $y = 2\sin x — x,\; x \in [0;\; \pi];$

в) $y = 2\cos x + x,\; x \in \left[-\frac{\pi}{2};\; \frac{\pi}{2}\right];$

г) $y=\mathrm{tg}x-x,x\in [0;\frac{\pi }{3}]$

Найти область значений функции:

а) $y = \ctg\,x + x,\; x \in \left[\frac{\pi}{4};\; \frac{3\pi}{4}\right];$

Производная функции:

$$y'(x) = (\ctg\,x)’ + (x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x — 1}{\sin^2 x} \leq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq \pi n;$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ctg\,\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4};$$ $$y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \ctg\,\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = -\ctg\,\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} — 1;$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = \frac{3\pi}{4} — 1; \quad y_{\text{наиб}} = 1 + \frac{\pi}{4}$

б) $y = 2\sin x — x,\; x \in [0;\; \pi];$

Производная функции:

$$y'(x) = 2(\sin x)’ — (x)’ = 2\cos x — 1;$$

Стационарные точки:

$$2\cos x — 1 = 0;$$ $$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значения функции:

$$y(0) = 2\sin 0 — 0 = 2 \cdot 0 = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3};$$ $$y(\pi) = 2\sin\pi — \pi = 2 \cdot 0 — \pi = -\pi;$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -\pi; \quad y_{\text{наиб}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$

в) $y = 2\cos x + x,\; x \in \left[-\frac{\pi}{2};\; \frac{\pi}{2}\right];$

Производная функции:

$$y'(x) = 2(\cos x)’ + (x)’ = 2 \cdot (-\sin x) + 1 = 1 — 2\sin x;$$

Стационарные точки:

$$1 — 2\sin x = 0;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin\frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Значения функции:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2};$$ $$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6};$$ $$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2};$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = -\frac{\pi}{2}; \quad y_{\text{наиб}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$

г) $y = \tg\,x — x,\; x \in \left[0;\; \frac{\pi}{3}\right];$

Производная функции:

$$y'(x) = (\tg\,x)’ — (x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 1 = \frac{1 — \cos^2 x}{\cos^2 x} \geq 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Значения функции:

$$y(0) = \tg\,0 — 0 = 0;$$ $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tg\,\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3};$$

Ответ:
$y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$

а) $y = \ctg(x) + x, \; x \in \left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right]$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y(x) = \ctg(x) + x$$

Продифференцируем по $x$:

$$y'(x) = (\ctg(x))’ + (x)’$$

Из известных стандартных производных, мы знаем, что производная $\ctg(x)$ равна $-\frac{1}{\sin^2(x)}$, а производная от $x$ равна 1.

Таким образом:

$$y'(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)} + 1$$

Теперь приведем результат к общему виду:

$$y'(x) = \frac{\sin^2(x) — 1}{\sin^2(x)}$$

Упростим выражение:

$$y'(x) = \frac{-\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$

Шаг 2: Анализ производной

Для того чтобы функция $y(x)$ возрастала или убывала, нужно проанализировать знак производной. Мы видим, что:

$$y'(x) = -\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}$$

Так как $\cos^2(x) \geq 0$ и $\sin^2(x) > 0$ на интервале $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} \right)$, то производная всегда отрицательна:

$$y'(x) \leq 0$$

Это означает, что функция убывает на отрезке $\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4} \right]$.

Шаг 3: Нахождение значений функции на концах отрезка

Нам нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках стационарных точек (если таковые имеются).

$x = \frac{\pi}{4}$:

$$y\left( \frac{\pi}{4} \right) = \ctg \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$$

$x = \frac{3\pi}{4}$:

$$y\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \ctg \left( \frac{3\pi}{4} \right) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} — 1$$

Шаг 4: Ответ

Поскольку производная функции на данном отрезке отрицательна, то функция убывает. Таким образом, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{\pi}{4}$, а наименьшее — в точке $x = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = \frac{3\pi}{4} — 1, \quad y_{\text{наиб}} = 1 + \frac{\pi}{4}$$

б) $y = 2\sin(x) — x, \; x \in [0; \pi]$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y(x) = 2\sin(x) — x$$

Продифференцируем по $x$:

$$y'(x) = 2(\sin(x))’ — (x)’$$ $$y'(x) = 2\cos(x) — 1$$

Шаг 2: Нахождение стационарных точек

Для нахождения стационарных точек приравняем производную к нулю:

$$2\cos(x) — 1 = 0$$

Решаем:

$$\cos(x) = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$x = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$

Точка $x = \frac{\pi}{3}$ является стационарной.

Шаг 3: Нахождение значений функции

Теперь нам нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в стационарной точке.

$x = 0$:

$$y(0) = 2\sin(0) — 0 = 0$$

$x = \frac{\pi}{3}$:

$$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) — \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$$

$x = \pi$:

$$y(\pi) = 2\sin(\pi) — \pi = 0 — \pi = -\pi$$

Шаг 4: Ответ

Для функции $y(x) = 2\sin(x) — x$ на отрезке $[0; \pi]$ стационарная точка $x = \frac{\pi}{3}$ является максимумом (функция возрастает до этой точки и убывает после неё). Таким образом, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{\pi}{3}$, а наименьшее — в точке $x = \pi$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -\pi, \quad y_{\text{наиб}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$$

в) $y = 2\cos(x) + x, \; x \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y(x) = 2\cos(x) + x$$

Продифференцируем по $x$:

$$y'(x) = 2(\cos(x))’ + (x)’ = -2\sin(x) + 1$$

Шаг 2: Нахождение стационарных точек

Приравниваем производную к нулю:

$$-2\sin(x) + 1 = 0$$

Решаем:

$$\sin(x) = \frac{1}{2}$$

Таким образом:

$$x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$

Точка $x = \frac{\pi}{6}$ является стационарной.

Шаг 3: Нахождение значений функции

Теперь вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$x = -\frac{\pi}{2}$:

$$y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \frac{\pi}{2} = 0 — \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$$

$x = \frac{\pi}{6}$:

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$$

$x = \frac{\pi}{2}$:

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 4: Ответ

Для функции $y(x) = 2\cos(x) + x$ на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ стационарная точка $x = \frac{\pi}{6}$ является максимумом. Таким образом, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{\pi}{6}$, а наименьшее — в точке $x = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -\frac{\pi}{2}, \quad y_{\text{наиб}} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$$

г) $y = \tg(x) — x, \; x \in \left[0; \frac{\pi}{3}\right]$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Функция:

$$y(x) = \tg(x) — x$$

Продифференцируем по $x$:

$$y'(x) = (\tg(x))’ — (x)’ = \frac{1}{\cos^2(x)} — 1$$

Приведем выражение к общему виду:

$$y'(x) = \frac{1 — \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} \geq 0$$

Шаг 2: Нахождение значений функции

Значения функции в концах отрезка:

$y(0) = \tg(0) — 0 = 0$

$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right) — \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$

Шаг 3: Ответ

Функция $y(x) = \tg(x) — x$ возрастает на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$, так как производная $y'(x) \geq 0$. Таким образом, наибольшее значение будет в точке $x = \frac{\pi}{3}$, а наименьшее — в точке $x = 0$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} = \frac{3\sqrt{3} — \pi}{3}$$