ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1, \ [0,5; +\infty)$;

б) $y = x — 2\sqrt{x}, \ [0; +\infty)$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2, \ (-\infty; 1]$;

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}, \ (-\infty; +\infty)$

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1, \ [0,5; +\infty)$;

Производная функции:
$y'(x) = (x^3)’ — 2(x^2)’ + (1)’$;
$y'(x) = 3x^2 — 2 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 4x$;

Промежуток возрастания:
$3x^2 — 4x \geq 0$;
$x(3x — 4) \geq 0$;
$x \leq 0$ или $x \geq \frac{4}{3}$;

Значения функции:
$y\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^3 — 2 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1 = \frac{64}{27} — \frac{32}{9} + 1 = -\frac{5}{27}$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -\frac{5}{27}$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

б) $y = x — 2\sqrt{x}, \ [0; +\infty)$;

Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — 2(\sqrt{x})’ = 1 — 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} — 1}{\sqrt{x}}$;

Промежуток возрастания:
$\sqrt{x} — 1 \geq 0$;
$\sqrt{x} \geq 1$;
$x \geq 1$;

Значения функции:
$y(1) = 1 — 2\sqrt{1} = 1 — 2 = -1$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2, \ (-\infty; 1]$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{5}(x^5)’ — (x^2)’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 — 2x = x^4 — 2x$;

Промежуток возрастания:
$x^4 — 2x \geq 0$;
$x(x^3 — 2) \geq 0$;
$x \leq 0$ или $x \geq \sqrt[3]{2}$;

Значения функции:
$y(0) = \frac{1}{5} \cdot 0^5 — 0^2 = 0 — 0 = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 0$.

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}, \ (-\infty; +\infty)$;

Производная функции:
$y'(x) = \frac{(x^4)’ \cdot (x^4 + 1) — x^4 \cdot (x^4 + 1)’}{(x^4 + 1)^2}$;
$y'(x) = \frac{4x^3 \cdot (x^4 + 1) — x^4 \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}$;

Промежуток возрастания:
$4x^3 \geq 0$;
$x^3 \geq 0$;
$x \geq 0$;

Значения функции:
$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = \frac{0}{1} = 0$;

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0$; $y_{\text{наиб}}$ — нет.

а) $y = x^3 — 2x^2 + 1, \; x \in [0,5; +\infty)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции используем стандартные правила дифференцирования:

$$y(x) = x^3 — 2x^2 + 1$$

Производная от $x^3$ — это $3x^2$, от $-2x^2$ — это $-4x$, а производная от постоянного числа $1$ равна $0$. Тогда:

$$y'(x) = 3x^2 — 4x$$

Шаг 2: Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек, приравниваем производную $y'(x)$ к нулю:

$$3x^2 — 4x = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x(3x — 4) = 0$$

Таким образом, $x = 0$ или $x = \frac{4}{3}$. Мы ищем решение на промежутке $[0,5; +\infty)$, следовательно, $x = 0$ — не подходит, так как это не лежит на нашем промежутке. Оставляем только $x = \frac{4}{3}$.

Шаг 3: Нахождение интервалов возрастания и убывания

Чтобы определить, на каком интервале функция возрастает, а на каком — убывает, нужно изучить знак производной:

Если $y'(x) > 0$, то функция возрастает.

Если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Для $y'(x) = 3x^2 — 4x$, анализируем знак производной на интервалах:

Когда $x \in \left[ 0, \frac{4}{3} \right)$, производная $y'(x) = 3x^2 — 4x$ отрицательна, то есть функция убывает.

Когда $x \in \left( \frac{4}{3}, +\infty \right)$, производная $y'(x) = 3x^2 — 4x$ положительна, то есть функция возрастает.

Шаг 4: Нахождение значений функции на концах отрезка и критической точке

Нам нужно вычислить значения функции в точке $x = \frac{4}{3}$ и на концах отрезка $x = 0,5$ и $x = +\infty$.

Значение функции в точке $x = \frac{4}{3}$:

$$y\left( \frac{4}{3} \right) = \left( \frac{4}{3} \right)^3 — 2 \cdot \left( \frac{4}{3} \right)^2 + 1 = \frac{64}{27} — \frac{32}{9} + 1 = -\frac{5}{27}$$

Значение функции на правом конце промежутка $x = 0,5$:

$$y(0,5) = (0,5)^3 — 2(0,5)^2 + 1 = \frac{1}{8} — 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} — \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{8}$$

Для $x \to +\infty$, так как степень $x^3$ растет быстрее, чем $x^2$, функция стремится к $+\infty$.

Шаг 5: Ответ

Минимальное значение функции на отрезке $[0,5; +\infty)$ достигается в точке $x = \frac{4}{3}$, и равно $y_{\text{наим}} = -\frac{5}{27}$.

Максимальное значение функции на отрезке $[0,5; +\infty)$ стремится к $+\infty$, так как на правом конце функция продолжает расти.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -\frac{5}{27}, \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

б) $y = x — 2\sqrt{x}, \; x \in [0; +\infty)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции используем стандартные правила дифференцирования:

$$y(x) = x — 2\sqrt{x}$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $-2\sqrt{x}$ — это $-2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Итак, производная функции:

$$y'(x) = 1 — \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Нахождение критических точек

Приравниваем производную $y'(x)$ к нулю:

$$1 — \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$

Решаем уравнение:

$$\frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Шаг 3: Нахождение интервалов возрастания и убывания

Анализируем знак производной:

Если $y'(x) > 0$, то функция возрастает.

Если $y'(x) < 0$, то функция убывает.

Для $y'(x) = 1 — \frac{1}{\sqrt{x}}$, изучаем знак на интервале $x \in [0; +\infty)$:

При $x \in [0; 1)$, $y'(x) < 0$, значит функция убывает.

При $x \in (1; +\infty)$, $y'(x) > 0$, значит функция возрастает.

Шаг 4: Нахождение значений функции на концах отрезка и в критической точке

Значение функции в точке $x = 1$:

$$y(1) = 1 — 2\sqrt{1} = 1 — 2 = -1$$

Значение функции на правом конце отрезка $x = 0$:

$$y(0) = 0 — 2\sqrt{0} = 0$$

Шаг 5: Ответ

Функция убывает до точки $x = 1$ и начинает возрастать после неё, поэтому минимальное значение функции на отрезке $[0; +\infty)$ достигается в точке $x = 1$, и равно $y_{\text{наим}} = -1$. Максимальное значение будет на правом конце отрезка, которое стремится к $+\infty$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -1, \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$

в) $y = \frac{1}{5}x^5 — x^2, \; x \in (-\infty; 1]$

Шаг 1: Нахождение производной функции

$$y(x) = \frac{1}{5}x^5 — x^2$$

Производная от $\frac{1}{5}x^5$ равна $x^4$, а производная от $-x^2$ равна $-2x$.

Итак, производная функции:

$$y'(x) = x^4 — 2x$$

Шаг 2: Нахождение критических точек

Приравниваем производную $y'(x)$ к нулю:

$$x^4 — 2x = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x(x^3 — 2) = 0$$

Тогда $x = 0$ или $x = \sqrt[3]{2}$. Поскольку $x \in (-\infty; 1]$, то точка $x = \sqrt[3]{2}$ не подходит. Оставляем только $x = 0$.

Шаг 3: Нахождение значений функции

Значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = \frac{1}{5} \cdot 0^5 — 0^2 = 0$$

Шаг 4: Ответ

Функция убывает на отрезке $(-\infty; 1]$, и наибольшее значение функции достигается на правом конце $x = 0$, где $y_{\text{наиб}} = 0$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} \text{ — нет}, \quad y_{\text{наиб}} = 0$$

г) $y = \frac{x^4}{x^4 + 1}, \; x \in (-\infty; +\infty)$

Шаг 1: Нахождение производной функции

Используем правило дифференцирования дроби:

$$y(x) = \frac{x^4}{x^4 + 1}$$

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^4)’ \cdot (x^4 + 1) — x^4 \cdot (x^4 + 1)’}{(x^4 + 1)^2}$$

Решаем:

$$y'(x) = \frac{4x^3 \cdot (x^4 + 1) — x^4 \cdot 4x^3}{(x^4 + 1)^2} = \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}$$

Шаг 2: Нахождение промежутка возрастания

Производная $y'(x) = \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}$ положительна, когда $x^3 \geq 0$, то есть $x \geq 0$.

Шаг 3: Нахождение значений функции

Значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = \frac{0^4}{0^4 + 1} = 0$$

Шаг 4: Ответ

Функция возрастает на промежутке $x \geq 0$. Таким образом, наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее значение функции на всем промежутке не существует (функция стремится к 1, но не достигает её).

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 0, \quad y_{\text{наиб}} \text{ — нет}$$