ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x + \frac{1}{x}, \ (-\infty; 0)$;

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}, \ [0; +\infty)$;

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}, \ (0; +\infty)$;

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x, \ [-3; +\infty)$

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = x + \frac{1}{x}, \ (-\infty; 0)$;

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ + \left(\frac{1}{x}\right)’ = 1 — \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 — 1}{x^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{x^2 — 1}{x^2} \geq 0;$$ $$(x + 1)(x — 1) \geq 0, \ x \ne 0;$$ $$x \leq -1 \ \text{или}\ x \geq 1;$$

Значения функции:

$$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = -2$.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}, \ [0; +\infty)$;

Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(3x)’ \cdot (x^2 + 3) — 3x \cdot (x^2 + 3)’}{(x^2 + 3)^2};$$ $$y'(x) = \frac{3 \cdot (x^2 + 3) — 3x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$9 — 3x^2 \geq 0;$$ $$3 — x^2 \geq 0;$$ $$x^2 — 3 \leq 0;$$ $$(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) \leq 0;$$ $$-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3};$$

Горизонтальная асимптота:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0;$$

Значения функции:

$$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = \frac{0}{3} = 0;$$ $$y(\sqrt{3}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0;$ $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}, \ (0; +\infty)$;

Производная функции:

$$y'(x) = (-2x)’ — \frac{1}{2} \left(\frac{1}{x}\right)’ = -2 — \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{x^2}\right);$$ $$y'(x) = \frac{1}{2x^2} — \frac{4x^2}{2x^2} = \frac{1 — 4x^2}{2x^2};$$

Промежуток возрастания:

$$\frac{1 — 4x^2}{2x^2} \geq 0;$$ $$1 — 4x^2 \geq 0, \ x \ne 0;$$ $$4x^2 — 1 \leq 0;$$ $$(2x + 1)(2x — 1) \leq 0;$$ $$-0,5 \leq x \leq 0,5;$$

Значения функции:

$$y(0,5) = -2 \cdot 0,5 — \frac{1}{2 \cdot 0,5} = -1 — \frac{1}{1} = -1 — 1 = -2;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = -2$.

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x, \ [-3; +\infty)$;

Производная функции:

$$y'(x) = (\sqrt{2x + 6})’ — (x)’;$$ $$y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} — 1 = \frac{1 — \sqrt{2x + 6}}{\sqrt{2x + 6}};$$

Промежуток возрастания:

$$1 — \sqrt{2x + 6} \geq 0;$$ $$\sqrt{2x + 6} \leq 1;$$ $$0 \leq 2x + 6 \leq 1;$$ $$-6 \leq 2x \leq -5;$$ $$-3 \leq x \leq -2,5;$$

Значения функции:

$$y(-2,5) = \sqrt{2(-2,5) + 6} + 2,5 = \sqrt{-5 + 6} + 2,5 = \sqrt{1} + 2,5 = 1 + 2,5 = 3,5;$$

Ответ: $y_{\text{наим}}$ — нет; $y_{\text{наиб}} = 3,5$.

а) $y = x + \frac{1}{x}, \ (-\infty; 0)$

1. Находим производную функции:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)$$ $$y'(x) = 1 — \frac{1}{x^2}$$

Производная равна:

$$y'(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2}$$

2. Исследуем знак производной для нахождения промежутков возрастания и убывания.

Необходимо решить неравенство:

$$\frac{x^2 — 1}{x^2} \geq 0$$ $$x^2 — 1 \geq 0 \quad \text{(так как \(x^2 > 0\) для всех \(x \neq 0\))}$$ $$(x — 1)(x + 1) \geq 0$$

Корни неравенства: $x = -1$ и $x = 1$.

Для промежутка $(-\infty; 0)$, решаем неравенство:

$$(x — 1)(x + 1) \geq 0$$

Здесь неравенство выполняется для $x \leq -1$.

3. Найдем значения функции.

Для $x = -1$:

$$y(-1) = -1 + \frac{1}{-1} = -1 — 1 = -2$$

4. Ответ:
На интервале $(-\infty; 0)$ наибольшее значение функции $y_{\text{наиб}} = -2$, а наименьшего значения нет.

б) $y = \frac{3x}{x^2 + 3}, \ [0; +\infty)$

1. Находим производную функции:

Для функции $y = \frac{3x}{x^2 + 3}$ используем правило дифференцирования частного:

$$y'(x) = \frac{(3x)’ \cdot (x^2 + 3) — 3x \cdot (x^2 + 3)’}{(x^2 + 3)^2}$$ $$y'(x) = \frac{3(x^2 + 3) — 3x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{3(x^2 + 3) — 6x^2}{(x^2 + 3)^2} = \frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2}$$

2. Исследуем знак производной для нахождения промежутков возрастания и убывания.

Необходимо решить неравенство:

$$\frac{9 — 3x^2}{(x^2 + 3)^2} \geq 0$$

Знаменатель всегда положителен, так как $x^2 + 3 > 0$ для всех $x$. Оставляем только числитель:

$$9 — 3x^2 \geq 0$$ $$3 — x^2 \geq 0$$ $$x^2 \leq 3$$ $$-\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$$

Для интервала $[0; +\infty)$ значение $x$ должно быть $0 \leq x \leq \sqrt{3}$.

3. Найдем значения функции на границах и критических точках.

Для $x = 0$:

$$y(0) = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 3} = \frac{0}{3} = 0$$

Для $x = \sqrt{3}$:

$$y(\sqrt{3}) = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

4. Горизонтальная асимптота.

Для $x \to \infty$:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{x^2 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{3}{x^2}} = 0$$

5. Ответ:
Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = 0$.

в) $y = -2x — \frac{1}{2x}, \ (0; +\infty)$

1. Находим производную функции:

Для функции $y = -2x — \frac{1}{2x}$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-2x) — \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x}\right)$$ $$y'(x) = -2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1 — 4x^2}{2x^2}$$

2. Исследуем знак производной для нахождения промежутков возрастания и убывания.

Необходимо решить неравенство:

$$\frac{1 — 4x^2}{2x^2} \geq 0$$

Числитель $1 — 4x^2 \geq 0$ даёт:

$$4x^2 \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$$

Но так как $x > 0$, то на интервале $(0; +\infty)$ выполняется условие $0 < x \leq \frac{1}{2}$.

3. Найдем значение функции на границе.

Для $x = \frac{1}{2}$:

$$y\left(\frac{1}{2}\right) = -2 \cdot \frac{1}{2} — \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -1 — 2 = -3$$

4. Ответ:
Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = -3$, наименьшего значения нет.

г) $y = \sqrt{2x + 6} — x, \ [-3; +\infty)$

1. Находим производную функции:

Для функции $y = \sqrt{2x + 6} — x$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x + 6}\right) — \frac{d}{dx}(x)$$ $$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x + 6}} \cdot 2 — 1 = \frac{1 — \sqrt{2x + 6}}{\sqrt{2x + 6}}$$

2. Исследуем знак производной для нахождения промежутков возрастания и убывания.

Необходимо решить неравенство:

$$1 — \sqrt{2x + 6} \geq 0$$ $$\sqrt{2x + 6} \leq 1$$ $$2x + 6 \leq 1$$ $$2x \leq -5 \quad \Rightarrow \quad x \leq -\frac{5}{2}$$

Для промежутка $[-3; +\infty)$, значение $x$ должно быть $-3 \leq x \leq -2.5$.

3. Найдем значение функции на границе.

Для $x = -2.5$:

$$y(-2.5) = \sqrt{2(-2.5) + 6} — (-2.5) = \sqrt{-5 + 6} + 2.5 = \sqrt{1} + 2.5 = 1 + 2.5 = 3.5$$

4. Ответ:
Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 3.5$, наименьшего значения нет.

Итоги:

а) $y_{\text{наиб}} = -2$, наименьшего значения нет.

б) $y_{\text{наиб}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y_{\text{наим}} = 0$.

в) $y_{\text{наиб}} = -2$, наименьшего значения нет.

г) $y_{\text{наиб}} = 3.5$, наименьшего значения нет.