ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=x^2-4x+5+\mathrm{\mid }1-x\mathrm{\mid },[0;4]$

б) $y=\mathrm{\mid }{x}^3-1\mathrm{\mid }-3x,[-1;3]$

а) $y = x^2 — 4x + 5 + |1 — x|, \ [0; 4]$

Число под знаком модуля:

$$1 — x \geq 0; \quad x \leq 1;$$

Если $0 \leq x \leq 1$, тогда:

$$y = x^2 — 4x + 5 + (1 — x) = x^2 — 5x + 6;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (-5x + 6)’ = 2x — 5;$$

Стационарные точки:

$$2x — 5 = 0; \quad 2x = 5; \quad x = 2,5;$$

Значения функции:

$$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6;$$ $$y(1) = 1^2 — 5 \cdot 1 + 6 = 1 — 5 + 6 = 2;$$

Если $1 \leq x \leq 4$, тогда:

$$y = x^2 — 4x + 5 — (1 — x) = x^2 — 3x + 4;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^2)’ + (-3x + 4)’ = 2x — 3;$$

Стационарные точки:

$$2x — 3 = 0; \quad 2x = 3; \quad x = 1,5;$$

Значения функции:

$$y(1,5) = 1,5^2 — 3 \cdot 1,5 + 4 = 2,25 — 4,5 + 4 = 1,75;$$ $$y(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 + 4 = 16 — 12 + 4 = 8;$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1,75; \quad y_{\text{наиб}} = 8.$$

б) $y = |x^3 — 1| — 3x, \ [-1; 3]$

Число под знаком модуля:

$$x^3 — 1 \geq 0; \quad x^3 \geq 1; \quad x \geq 1;$$

Если $-1 \leq x \leq 1$, тогда:

$$y = -(x^3 — 1) — 3x = -x^3 + 1 — 3x;$$

Производная функции:

$$y'(x) = -(x^3)’ + (1 — 3x)’ = -3x^2 — 3 < 0;$$

Значения функции:

$$y(-1) = -(-1)^3 + 1 — 3 \cdot (-1) = 1 + 1 + 3 = 5;$$ $$y(1) = -1^3 + 1 — 3 \cdot 1 = -1 + 1 — 3 = -3;$$

Если $1 \leq x \leq 3$, тогда:

$$y = (x^3 — 1) — 3x = x^3 — 3x — 1;$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ + (-3x — 1)’ = 3x^2 — 3;$$

Стационарные точки:

$$3x^2 — 3 = 0; \quad 3x^2 = 3; \quad x^2 = 1; \quad x = \pm 1;$$

Значения функции:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1 — 1 = 1 — 3 — 1 = -3;$$ $$y(3) = 3^3 — 3 \cdot 3 — 1 = 27 — 9 — 1 = 17;$$

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 17.$$

а) $y = x^2 — 4x + 5 + |1 — x|, \ [0; 4]$

Задача состоит в том, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале $[0; 4]$. Функция включает абсолютное значение $|1 — x|$, поэтому нам нужно рассмотреть два случая, зависящих от того, больше ли $x$ или меньше единицы.

1) Число под знаком модуля: $1 — x$

Для начала определим, когда выражение внутри модуля меняет знак. Мы решим неравенство $1 — x \geq 0$:

$$1 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 1$$

Это означает, что для $x \in [0; 1]$ модуль выражается как $|1 — x| = 1 — x$, а для $x \in [1; 4]$ — как $|1 — x| = x — 1$.

2) Случай 1: $0 \leq x \leq 1$

На интервале $[0; 1]$ мы подставляем $|1 — x| = 1 — x$ в исходное выражение для функции:

$$y = x^2 — 4x + 5 + (1 — x) = x^2 — 5x + 6$$

Теперь найдем производную функции $y(x) = x^2 — 5x + 6$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 5x + 6) = 2x — 5$$

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$2x — 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{2} = 2,5$$

Однако, точка $x = 2,5$ не лежит на интервале $[0; 1]$, поэтому на этом интервале нет стационарных точек. Теперь нужно вычислить значения функции в пределах интервала:

$$y(0) = 0^2 — 5 \cdot 0 + 6 = 6$$ $$y(1) = 1^2 — 5 \cdot 1 + 6 = 1 — 5 + 6 = 2$$

Таким образом, на интервале $[0; 1]$ значения функции варьируются от $y(0) = 6$ до $y(1) = 2$. Минимальное значение функции на этом интервале — $y_{\text{min}} = 2$.

3) Случай 2: $1 \leq x \leq 4$

Теперь рассмотрим интервал $[1; 4]$, где $|1 — x| = x — 1$. Подставим это в выражение для функции:

$$y = x^2 — 4x + 5 — (1 — x) = x^2 — 3x + 4$$

Теперь найдем производную функции $y(x) = x^2 — 3x + 4$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 3x + 4) = 2x — 3$$

Чтобы найти стационарные точки, приравняем производную к нулю:

$$2x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1,5$$

Точка $x = 1,5$ лежит в пределах интервала $[1; 4]$, поэтому это стационарная точка. Теперь вычислим значение функции в точке $x = 1,5$ и на концах интервала $x = 1$ и $x = 4$:

$$y(1,5) = (1,5)^2 — 3 \cdot 1,5 + 4 = 2,25 — 4,5 + 4 = 1,75$$ $$y(1) = 1^2 — 3 \cdot 1 + 4 = 1 — 3 + 4 = 2$$ $$y(4) = 4^2 — 3 \cdot 4 + 4 = 16 — 12 + 4 = 8$$

Таким образом, на интервале $[1; 4]$ значения функции варьируются от $y(1) = 2$ до $y(4) = 8$, с минимальным значением $y(1,5) = 1,75$ в точке $x = 1,5$.

4) Итоговые результаты

Теперь, имея все значения функции, определим наименьшее и наибольшее значения на интервале $[0; 4]$. На интервале $[0; 1]$ минимальное значение $y_{\text{min}} = 2$, а на интервале $[1; 4]$ минимальное значение $y_{\text{min}} = 1,75$. Таким образом, минимальное значение функции на всём интервале — $y_{\text{min}} = 1,75$. Наибольшее значение функции на интервале $[0; 4]$ равно $y(4) = 8$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = 1,75; \quad y_{\text{наиб}} = 8.$$

б) $y = |x^3 — 1| — 3x, \ [-1; 3]$

Теперь решим задачу на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции $y = |x^3 — 1| — 3x$ на интервале $[-1; 3]$. Как и в предыдущем случае, функция включает абсолютное значение $|x^3 — 1|$, которое нужно рассматривать по частям, в зависимости от знака выражения $x^3 — 1$.

1) Число под знаком модуля: $x^3 — 1$

Определим, при каких значениях $x$ выражение $x^3 — 1$ меняет знак. Мы решим неравенство $x^3 — 1 \geq 0$:

$$x^3 — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1$$

Это означает, что для $x \in [-1; 1]$ выражение $x^3 — 1$ отрицательно, а для $x \in [1; 3]$ оно положительно. Таким образом, на интервале $[-1; 1]$ модуль $|x^3 — 1|$ примет вид $-(x^3 — 1) = -x^3 + 1$, а на интервале $[1; 3]$ — $x^3 — 1$.

2) Случай 1: $-1 \leq x \leq 1$

На интервале $[-1; 1]$ подставляем $|x^3 — 1| = -x^3 + 1$:

$$y = -(x^3 — 1) — 3x = -x^3 + 1 — 3x$$

Теперь найдем производную функции $y(x) = -x^3 + 1 — 3x$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 1 — 3x) = -3x^2 — 3$$

Так как производная всегда отрицательна ($y'(x) = -3(x^2 + 1) < 0$ для всех $x$), то функция на интервале $[-1; 1]$ убывает. Таким образом, минимальное значение функции будет на правом конце интервала $x = 1$, а максимальное — на левом конце $x = -1$.

Значения функции в точках $x = -1$ и $x = 1$:

$$y(-1) = -(-1)^3 + 1 — 3 \cdot (-1) = 1 + 1 + 3 = 5$$ $$y(1) = -(1)^3 + 1 — 3 \cdot 1 = -1 + 1 — 3 = -3$$

Таким образом, на интервале $[-1; 1]$ минимальное значение функции равно $y_{\text{min}} = -3$, а максимальное — $y_{\text{max}} = 5$.

3) Случай 2: $1 \leq x \leq 3$

На интервале $[1; 3]$ подставляем $|x^3 — 1| = x^3 — 1$:

$$y = (x^3 — 1) — 3x = x^3 — 3x — 1$$

Теперь найдем производную функции $y(x) = x^3 — 3x — 1$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 — 3x — 1) = 3x^2 — 3$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$$3x^2 — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Так как $x = 1$ уже входит в интервал $[1; 3]$, мы будем исследовать его на этом интервале. Кроме того, нужно вычислить значения функции в точках $x = 1$ и $x = 3$:

$$y(1) = 1^3 — 3 \cdot 1 — 1 = 1 — 3 — 1 = -3$$ $$y(3) = 3^3 — 3 \cdot 3 — 1 = 27 — 9 — 1 = 17$$

Таким образом, на интервале $[1; 3]$ минимальное значение функции равно $y_{\text{min}} = -3$, а максимальное — $y_{\text{max}} = 17$.

4) Итоговые результаты

Теперь, имея все значения функции, определим наименьшее и наибольшее значения на интервале $[-1; 3]$. На интервале $[-1; 1]$ минимальное значение $y_{\text{min}} = -3$, на интервале $[1; 3]$ минимальное значение тоже $y_{\text{min}} = -3$. Наибольшее значение функции на интервале $[-1; 3]$ равно $y_{\text{max}} = 17$.

Ответ:

$$y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 17.$$