ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.17 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

a) $y = 2x — \sqrt{16x — 4},\ x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right]$;

б) $y = 2\sqrt{x — 1} — 0,5x,\ x \in [1; 10]$

Найти область значений функции:

a) $y = 2x — \sqrt{16x — 4},\ x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right]$;

Производная функции:

$$y'(x) = (2x)’ — (\sqrt{16x — 4})’;$$ $$y'(x) = 2 — 16 \cdot \frac{1}{2\sqrt{16x — 4}} = \frac{2\sqrt{16x — 4} — 8}{\sqrt{16x — 4}};$$

Стационарные точки:

$$2\sqrt{16x — 4} — 8 = 0;$$ $$2\sqrt{16x — 4} = 8;$$ $$\sqrt{16x — 4} = 4;$$ $$16x — 4 = 16;$$ $$16x = 20;$$ $$x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4};$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} — 4} = \frac{1}{2} — \sqrt{0} = 0,5;$$ $$y\left(\frac{5}{4}\right) = 2 \cdot \frac{5}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{16} = 2,5 — 4 = -1,5;$$ $$y\left(\frac{17}{4}\right) = 2 \cdot \frac{17}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{64} = 8,5 — 8 = 0,5;$$

Ответ: $E(y) = [-1,5; 0,5]$.

б) $y = 2\sqrt{x — 1} — 0,5x,\ x \in [1; 10]$;

Производная функции:

$$y'(x) = 2(\sqrt{x — 1})’ — (0,5x)’;$$ $$y'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 1}} — \frac{1}{2} = \frac{2 — \sqrt{x — 1}}{2\sqrt{x — 1}};$$

Стационарные точки:

$$2 — \sqrt{x — 1} = 0;$$ $$\sqrt{x — 1} = 2;$$ $$x — 1 = 4;$$ $$x = 5;$$

Значения функции:

$$y(1) = 2\sqrt{1 — 1} — 0,5 \cdot 1 = 2\sqrt{0} — 0,5 = -0,5;$$ $$y(5) = 2\sqrt{5 — 1} — 0,5 \cdot 5 = 2\sqrt{4} — 2,5 = 4 — 2,5 = 1,5;$$ $$y(10) = 2\sqrt{10 — 1} — 0,5 \cdot 10 = 2\sqrt{9} — 5 = 6 — 5 = 1;$$

Ответ: $E(y) = [-0,5; 1,5]$.

a)

Нам дана функция:

$$y = 2x — \sqrt{16x — 4}, \quad x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right]$$

1. Нахождение области значений

Для нахождения области значений функции важно понимать, какие значения может принимать функция при заданном интервале $x$.

1.1. Условие существования функции

Первым шагом мы должны удостовериться, что выражение $\sqrt{16x — 4}$ имеет смысл, то есть, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$16x — 4 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$16x \geq 4 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{4}$$

Значение $x = \frac{1}{4}$ является началом интервала, и для всех значений $x \in \left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right]$ подкоренное выражение будет положительным. Таким образом, выражение $\sqrt{16x — 4}$ будет существовать на этом интервале.

1.2. Анализ значений функции

Теперь нужно найти, какие значения принимает сама функция на интервале $\left[\frac{1}{4}; \frac{17}{4}\right]$. Для этого исследуем поведение функции на границах интервала и в стационарной точке, которую мы найдем позже.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $y = 2x — \sqrt{16x — 4}$.

Для этого применим правила дифференцирования. Производная первого слагаемого $2x$ равна 2, а для второго слагаемого $\sqrt{16x — 4}$ используем правило дифференцирования корня:

$$\left( \sqrt{16x — 4} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{16x — 4}} \cdot \frac{d}{dx}(16x — 4) = \frac{1}{2\sqrt{16x — 4}} \cdot 16 = \frac{8}{\sqrt{16x — 4}}$$

Таким образом, производная функции:

$$y'(x) = 2 — \frac{8}{\sqrt{16x — 4}}$$

3. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции $y(x)$ возникают, когда её производная равна нулю, то есть:

$$2 — \frac{8}{\sqrt{16x — 4}} = 0$$

Решим это уравнение:

$$2 = \frac{8}{\sqrt{16x — 4}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{16x — 4} = 4$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$16x — 4 = 16 \quad \Rightarrow \quad 16x = 20 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$$

Таким образом, стационарная точка находится в точке $x = \frac{5}{4}$.

4. Нахождение значений функции в крайних точках и в стационарной точке

Теперь вычислим значения функции в крайних точках интервала и в найденной стационарной точке.

4.1. $x = \frac{1}{4}$

Подставим $x = \frac{1}{4}$ в исходную функцию:

$$y\left(\frac{1}{4}\right) = 2 \cdot \frac{1}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} — 4} = \frac{1}{2} — \sqrt{4 — 4} = \frac{1}{2} — 0 = 0,5$$

4.2. $x = \frac{5}{4}$

Подставим $x = \frac{5}{4}$ в исходную функцию:

$$y\left(\frac{5}{4}\right) = 2 \cdot \frac{5}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{5}{4} — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{20 — 4} = \frac{5}{2} — \sqrt{16} = 2,5 — 4 = -1,5$$

4.3. $x = \frac{17}{4}$

Подставим $x = \frac{17}{4}$ в исходную функцию:

$$y\left(\frac{17}{4}\right) = 2 \cdot \frac{17}{4} — \sqrt{16 \cdot \frac{17}{4} — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{68 — 4} = \frac{17}{2} — \sqrt{64} = 8,5 — 8 = 0,5$$

5. Область значений функции

Таким образом, функция принимает следующие значения:

• Минимальное значение: $y\left(\frac{5}{4}\right) = -1,5$
• Максимальное значение: $y\left(\frac{1}{4}\right) = 0,5$ и $y\left(\frac{17}{4}\right) = 0,5$

Ответ:

$$E(y) = [-1,5; 0,5]$$

б)

Нам дана функция:

$$y = 2\sqrt{x — 1} — 0,5x, \quad x \in [1; 10]$$

1. Нахождение области значений

Функция $2\sqrt{x — 1}$ существует при $x \geq 1$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Данный интервал $[1; 10]$ удовлетворяет этому условию, поэтому функция существует на всем интервале.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $y = 2\sqrt{x — 1} — 0,5x$.

Производная от $2\sqrt{x — 1}$ будет:

$$\left( 2\sqrt{x — 1} \right)’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 1}} = \frac{1}{\sqrt{x — 1}}$$

Производная от $-0,5x$ равна $-0,5$.

Итак, производная функции:

$$y'(x) = \frac{1}{\sqrt{x — 1}} — 0,5$$

3. Нахождение стационарных точек

Стационарные точки функции $y(x)$ возникают, когда её производная равна нулю, то есть:

$$\frac{1}{\sqrt{x — 1}} — 0,5 = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{\sqrt{x — 1}} = 0,5 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x — 1} = 2$$

Возведем обе стороны в квадрат:

$$x — 1 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 5$$

Таким образом, стационарная точка находится в точке $x = 5$.

4. Нахождение значений функции в крайних точках и в стационарной точке

4.1. $x = 1$

Подставим $x = 1$ в исходную функцию:

$$y(1) = 2\sqrt{1 — 1} — 0,5 \cdot 1 = 0 — 0,5 = -0,5$$

4.2. $x = 5$

Подставим $x = 5$ в исходную функцию:

$$y(5) = 2\sqrt{5 — 1} — 0,5 \cdot 5 = 2\sqrt{4} — 2,5 = 4 — 2,5 = 1,5$$

4.3. $x = 10$

Подставим $x = 10$ в исходную функцию:

$$y(10) = 2\sqrt{10 — 1} — 0,5 \cdot 10 = 2\sqrt{9} — 5 = 6 — 5 = 1$$

5. Область значений функции

Таким образом, функция принимает следующие значения:

• Минимальное значение: $y(1) = -0,5$
• Максимальное значение: $y(5) = 1,5$

Ответ:

$$E(y) = [-0,5; 1,5]$$