ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x\sqrt{x + 2}$;

б) $y = x\sqrt{1 — 2x}$

Найти область значений функции:

а) $y = x\sqrt{x + 2}$;

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ \cdot \sqrt{x + 2} + x \cdot (\sqrt{x + 2})’;$$ $$y'(x) = 1 \cdot \sqrt{x + 2} + x \cdot 1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} = \frac{2(x + 2) + x}{2\sqrt{x + 2}} = \frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}}.$$

Промежуток возрастания:

$$3x + 4 \geq 0;$$ $$3x \geq -4;$$ $$x \geq -1\frac{1}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 2 \geq 0;$$ $$x \geq -2;$$

Значения функции:

$$y\left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{-\frac{4}{3} + 2} = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 3} = -\frac{4\sqrt{6}}{9};$$

Ответ: $E(y) = \left[-\frac{4\sqrt{6}}{9}; +\infty\right)$.

б) $y = x\sqrt{1 — 2x}$;

Производная функции:

$$y'(x) = (x)’ \cdot \sqrt{1 — 2x} + x \cdot (\sqrt{1 — 2x})’;$$ $$y'(x) = 1 \cdot \sqrt{1 — 2x} + x \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} = \frac{(1 — 2x) — x}{\sqrt{1 — 2x}} = \frac{1 — 3x}{\sqrt{1 — 2x}};$$

Промежуток возрастания:

$$1 — 3x \geq 0;$$ $$3x \leq 1;$$ $$x \leq \frac{1}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 2x \geq 0;$$ $$2x \leq 1;$$ $$x \leq 0,5;$$

Значения функции:

$$y\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{1 — 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{9};$$

Ответ: $E(y) = \left(-\infty; \frac{\sqrt{3}}{9}\right]$.

а)

Нам дана функция:

$$y = x\sqrt{x + 2}$$

1. Нахождение области значений

Для начала, нам нужно понять, при каких значениях $x$ функция $y = x\sqrt{x + 2}$ имеет смысл, а затем исследовать, какие значения она может принимать на заданном интервале.

1.1. Условие существования функции

Так как в функции присутствует корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть, необходимо, чтобы:

$$x + 2 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$x \geq -2$$

Таким образом, функция определена для $x \geq -2$.

1.2. Область значений функции

Теперь нам нужно найти область значений этой функции. Для этого необходимо исследовать поведение функции на возможных значениях $x$. Мы это сделаем с помощью производной и анализа критических точек.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $y = x \sqrt{x + 2}$. Для этого воспользуемся правилом произведения:

$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Здесь:

• $u(x) = x$, и $u'(x) = 1$
• $v(x) = \sqrt{x + 2}$, и $v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}$ по правилу дифференцирования корня.

Применяем это к нашей функции:

$$y'(x) = 1 \cdot \sqrt{x + 2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 2}}$$

Теперь упрощаем выражение:

$$y'(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{x}{2\sqrt{x + 2}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$y'(x) = \frac{2(x + 2) + x}{2\sqrt{x + 2}} = \frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}}$$

Это производная функции $y(x)$.

3. Нахождение промежутка возрастания и убывания

Чтобы исследовать промежутки возрастания и убывания функции, приравняем производную к нулю:

$$\frac{3x + 4}{2\sqrt{x + 2}} = 0$$

Числитель должен быть равен нулю (так как знаменатель не может быть равен нулю):

$$3x + 4 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$3x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{4}{3}$$

Таким образом, стационарная точка находится в точке $x = -\frac{4}{3}$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная будет положительной (функция возрастает), а при каких — отрицательной (функция убывает).

Чтобы функция возрастала, числитель $3x + 4$ должен быть положительным. Для этого решим неравенство:

$$3x + 4 \geq 0$$ $$3x \geq -4$$ $$x \geq -\frac{4}{3}$$

Таким образом, функция возрастает на интервале $x \geq -\frac{4}{3}$.

4. Значения функции

Теперь, зная, что функция возрастает на интервале $x \geq -\frac{4}{3}$, нам нужно найти минимальное и максимальное значения функции.

4.1. Значение функции в точке $x = -\frac{4}{3}$

Подставим $x = -\frac{4}{3}$ в исходное выражение для функции:

$$y\left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{-\frac{4}{3} + 2}$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$-\frac{4}{3} + 2 = -\frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{2}{3}$$

Тогда:

$$y\left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{4}{3} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$$

Таким образом, значение функции в точке $x = -\frac{4}{3}$ равно $-\frac{4\sqrt{6}}{9}$.

4.2. Значения функции при $x \to +\infty$

При $x \to +\infty$, значение функции $y = x\sqrt{x + 2}$ также стремится к бесконечности, так как оба множителя возрастают.

5. Область значений функции

Функция возрастает на интервале $x \geq -\frac{4}{3}$, минимальное значение функции достигается в точке $x = -\frac{4}{3}$, а затем она возрастает до бесконечности. Таким образом, область значений функции:

$$E(y) = \left[-\frac{4\sqrt{6}}{9}; +\infty\right)$$

б)

Нам дана функция:

$$y = x\sqrt{1 — 2x}$$

1. Нахождение области значений

Как и в предыдущем случае, для функции с корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

$$1 — 2x \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$2x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{1}{2}$$

Таким образом, функция определена для $x \leq \frac{1}{2}$.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $y = x\sqrt{1 — 2x}$. Используем правило произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot \sqrt{1 — 2x} + x \cdot (\sqrt{1 — 2x})’$$

Производная от $\sqrt{1 — 2x}$ будет:

$$\left( \sqrt{1 — 2x} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{1 — 2x}} \cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{1 — 2x}}$$

Таким образом, производная:

$$y'(x) = \sqrt{1 — 2x} + x \cdot \frac{-1}{\sqrt{1 — 2x}} = \frac{(1 — 2x) — x}{\sqrt{1 — 2x}} = \frac{1 — 3x}{\sqrt{1 — 2x}}$$

3. Нахождение промежутка возрастания и убывания

Для нахождения промежутка возрастания приравняем производную к нулю:

$$\frac{1 — 3x}{\sqrt{1 — 2x}} = 0$$

Числитель должен быть равен нулю:

$$1 — 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}$$

Теперь исследуем знак числителя $1 — 3x$:

• Если $x \leq \frac{1}{3}$, то числитель $1 — 3x \geq 0$, и функция возрастает.
• Если $x > \frac{1}{3}$, то числитель $1 — 3x < 0$, и функция убывает.

4. Значения функции

Теперь найдем минимальное и максимальное значения функции:

4.1. Значение функции при $x = \frac{1}{3}$

Подставим $x = \frac{1}{3}$ в исходное выражение для функции:

$$y\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{1 — 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$$

4.2. Значение функции при $x = 0$

Подставим $x = 0$ в исходное выражение для функции:

$$y(0) = 0 \cdot \sqrt{1 — 2 \cdot 0} = 0$$

Таким образом, максимальное значение функции $y = \frac{\sqrt{3}}{9}$ достигается при $x = \frac{1}{3}$, а минимальное значение при $x = 0$.

5. Область значений функции

Функция убывает на интервале $x \in [0, \frac{1}{3}]$ и имеет максимальное значение в точке $x = \frac{1}{3}$, минимальное значение на границе интервала при $x = 0$. Область значений функции:

$$E(y) = \left(-\infty; \frac{\sqrt{3}}{9}\right]$$

Итоговые ответы:

а) $E(y) = \left[-\frac{4\sqrt{6}}{9}; +\infty\right)$

б) $E(y) = \left(-\infty; \frac{\sqrt{3}}{9}\right]$