ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.

Пусть $x, y$ — данные целые числа, тогда:

$$x + y = 24;$$ $$y = 24 — x;$$

Произведение данных чисел:

$$P(x) = xy = x(24 — x) = 24x — x^2;$$

Производная функции:

$$P'(x) = (24x)’ — (x^2)’ = 24 — 2x;$$

Промежуток возрастания:

$$24 — 2x \geq 0;$$ $$2x \leq 24;$$ $$x \leq 12;$$

Точка максимума:

$$x_{\max} = 12;$$ $$y = 24 — 12 = 12;$$

Ответ: 12; 12.

Шаг 1. Введение переменных и обозначений

Пусть $x$ и $y$ — два целых числа, которые мы ищем. Из условия задачи известно, что:

$$x + y = 24$$

Из этого уравнения можно выразить одно число через другое. Например, выразим $y$ через $x$:

$$y = 24 — x$$

Теперь задача сводится к нахождению значений $x$ и $y$, при которых произведение этих чисел $P(x) = x \cdot y$ достигает максимума.

Шаг 2. Выражение произведения через одну переменную

Произведение чисел $x$ и $y$ — это:

$$P(x) = x \cdot y$$

Подставляем выражение для $y$ из первого шага:

$$P(x) = x \cdot (24 — x)$$

Распишем это:

$$P(x) = 24x — x^2$$

Теперь задача сводится к нахождению максимума функции $P(x) = 24x — x^2$.

Шаг 3. Нахождение производной функции

Для нахождения точки максимума или минимума функции $P(x)$ воспользуемся первым методом оптимизации — находим производную функции $P(x)$.

Производная функции $P(x) = 24x — x^2$ по $x$:

$$P'(x) = (24x)’ — (x^2)’$$

Производная от $24x$ — это 24, а производная от $x^2$ — это $2x$. Таким образом:

$$P'(x) = 24 — 2x$$

Шаг 4. Нахождение точки экстремума

Чтобы найти экстремумы функции $P(x)$, приравняем производную к нулю:

$$24 — 2x = 0$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$2x = 24$$ $$x = 12$$

Таким образом, мы нашли точку $x = 12$, которая может быть точкой максимума или минимума функции $P(x)$.

Шаг 5. Проверка, является ли точка максимумом

Чтобы проверить, является ли найденная точка $x = 12$ точкой максимума, нам нужно исследовать знак второй производной функции.

Вторая производная функции $P(x) = 24x — x^2$ — это производная от $P'(x)$:

$$P»(x) = (24 — 2x)’$$

Поскольку производная от 24 — это 0, а производная от $-2x$ — это $-2$, получаем:

$$P»(x) = -2$$

Так как вторая производная $P»(x) = -2$ отрицательна, это означает, что функция $P(x)$ имеет максимум в точке $x = 12$.

Шаг 6. Нахождение значения $y$

Теперь, когда мы знаем, что $x = 12$ — это точка максимума, подставим это значение в выражение для $y$:

$$y = 24 — x = 24 — 12 = 12$$

Таким образом, оба числа, максимизирующие произведение, равны 12.

Шаг 7. Проверка произведения

Подставим $x = 12$ и $y = 12$ в выражение для произведения:

$$P(x) = x \cdot y = 12 \cdot 12 = 144$$

Произведение чисел 12 и 12 равно 144, и это наибольшее возможное произведение для чисел, сумма которых равна 24.

Ответ:

Числа, произведение которых максимально при условии, что их сумма равна 24, это $12$ и $12$.

Ответ: 12; 12.