ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наибольшее значение.

Пусть $x, y$ — данные положительные числа, тогда:
$xy = 484$;
$y = \frac{484}{x}$;

Сумма данных чисел:
$S(x) = x + y = x + \frac{484}{x}$;

Производная функции:
$S'(x) = (x)’ + 484\left(\frac{1}{x}\right)’ = 1 + 484 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{x^2 — 484}{x^2}$;

Промежуток возрастания:
$x^2 — 484 \geq 0$;
$(x + 22)(x — 22) \geq 0$;
$x \leq -22$ или $x \geq 22$;

Точка минимума:
$x_{\min} = 22$;
$y = \frac{484}{22} = 22$;

Ответ: 22; 22.

Шаг 1. Обозначения и выражение суммы

Пусть $x$ и $y$ — два положительных числа, которые мы ищем. Из условия задачи известно, что произведение этих чисел равно 484:

$$xy = 484$$

Также известно, что нам нужно найти такие числа, при которых сумма $S = x + y$ будет наибольшей.

Из первого уравнения мы можем выразить $y$ через $x$:

$$y = \frac{484}{x}$$

Теперь выразим сумму $S$ через $x$:

$$S(x) = x + y = x + \frac{484}{x}$$

Таким образом, задача сводится к нахождению максимума функции $S(x) = x + \frac{484}{x}$, где $x > 0$.

Шаг 2. Нахождение производной функции

Для поиска максимума или минимума функции $S(x)$ найдем её производную. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

Функция, которую нужно дифференцировать, имеет вид:

$$S(x) = x + \frac{484}{x}$$

Теперь находим её производную:

$$S'(x) = \frac{d}{dx}\left( x \right) + \frac{d}{dx}\left( \frac{484}{x} \right)$$

Производная от $x$ равна 1, а производная от $\frac{484}{x}$ по правилу дифференцирования дробей (или степени $x^{-1}$) равна:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{484}{x} \right) = -\frac{484}{x^2}$$

Таким образом, производная функции $S(x)$ равна:

$$S'(x) = 1 — \frac{484}{x^2}$$

Шаг 3. Нахождение критической точки

Для нахождения критических точек функции $S(x)$ приравняем её производную к нулю:

$$S'(x) = 0$$

Подставляем выражение для производной:

$$1 — \frac{484}{x^2} = 0$$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$\frac{484}{x^2} = 1$$

Умножим обе части на $x^2$:

$$484 = x^2$$

Извлекаем корень из обеих сторон:

$$x = \sqrt{484} = 22$$

Таким образом, мы нашли критическую точку: $x = 22$.

Шаг 4. Проверка, является ли найденная точка максимумом

Для того чтобы удостовериться, что найденная точка $x = 22$ соответствует максимуму функции $S(x)$, нужно проверить знак второй производной функции.

Вторая производная функции $S(x)$ — это производная от производной $S'(x)$. Находим её:

$$S»(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 — \frac{484}{x^2} \right)$$

Производная от 1 равна 0, а производная от $-\frac{484}{x^2}$ по правилу дифференцирования дробей будет:

$$S»(x) = \frac{2 \cdot 484}{x^3} = \frac{968}{x^3}$$

Подставляем $x = 22$ в выражение для второй производной:

$$S»(22) = \frac{968}{22^3} = \frac{968}{10648}$$

Так как $S»(22) > 0$, это говорит о том, что в точке $x = 22$ функция $S(x)$ имеет минимум (так как вторая производная положительная).

Шаг 5. Нахождение значения $y$

Теперь, зная, что $x = 22$, подставим это значение в уравнение $y = \frac{484}{x}$, чтобы найти $y$:

$$y = \frac{484}{22} = 22$$

Таким образом, оба числа, максимизирующие сумму, равны 22.

Шаг 6. Проверка суммы

Теперь подставим $x = 22$ и $y = 22$ в выражение для суммы:

$$S = x + y = 22 + 22 = 44$$

Это максимальная возможная сумма для чисел, произведение которых равно 484.

Ответ

Числа, которые максимизируют сумму при условии, что их произведение равно 484, это $22$ и $22$.

Ответ: 22; 22.