ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

Пусть $x, y$ — данные числа, тогда:
$y — x = 98;$
$y = 98 + x;$

Произведение данных чисел:
$P(x) = xy = x(98 + x) = 98x + x^2;$

Производная функции:
$P'(x) = (98x)’ + (x^2)’ = 98 + 2x;$

Промежуток возрастания:
$98 + 2x \geq 0;$
$2x \geq -98;$
$x \geq -49;$

Точка минимума:
$x_{\min} = -49;$
$y = 98 — 49 = 49;$

Ответ: $-49; 49.$

Шаг 1. Обозначения и выражения

Пусть $x$ и $y$ — два числа, которые мы ищем. Из условия задачи известно, что разность этих чисел равна 98:

$$y — x = 98$$

Из этого уравнения можно выразить одно число через другое. Например, выразим $y$ через $x$:

$$y = 98 + x$$

Теперь задача сводится к нахождению таких чисел $x$ и $y$, при которых произведение этих чисел $P(x) = xy$ минимально.

Шаг 2. Выражение произведения через одну переменную

Произведение чисел $x$ и $y$ — это:

$$P(x) = x \cdot y$$

Подставляем выражение для $y$ из первого шага:

$$P(x) = x \cdot (98 + x)$$

Распишем это:

$$P(x) = 98x + x^2$$

Теперь задача сводится к нахождению минимального значения функции $P(x) = 98x + x^2$.

Шаг 3. Нахождение производной функции

Для нахождения точки минимума или максимума функции $P(x)$ найдем её производную. Для этого применим стандартные правила дифференцирования.

Функция, которую нужно дифференцировать, имеет вид:

$$P(x) = 98x + x^2$$

Теперь находим её производную:

$$P'(x) = (98x)’ + (x^2)’$$

Производная от $98x$ равна 98, а производная от $x^2$ равна $2x$. Таким образом:

$$P'(x) = 98 + 2x$$

Шаг 4. Нахождение критической точки

Чтобы найти критические точки функции $P(x)$, приравняем её производную к нулю:

$$P'(x) = 0$$

Подставляем выражение для производной:

$$98 + 2x = 0$$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$2x = -98$$ $$x = -49$$

Таким образом, мы нашли критическую точку: $x = -49$.

Шаг 5. Проверка, является ли найденная точка минимумом

Для того чтобы удостовериться, что найденная точка $x = -49$ соответствует минимуму функции $P(x)$, нужно проверить знак второй производной функции.

Вторая производная функции $P(x) = 98x + x^2$ — это производная от производной $P'(x)$. Находим её:

$$P»(x) = (98 + 2x)’$$

Производная от $98$ равна 0, а производная от $2x$ — это 2. Таким образом:

$$P»(x) = 2$$

Поскольку вторая производная $P»(x) = 2 > 0$, это означает, что функция $P(x)$ имеет минимум в точке $x = -49$.

Шаг 6. Нахождение значения $y$

Теперь, зная, что $x = -49$, подставим это значение в уравнение $y = 98 + x$, чтобы найти $y$:

$$y = 98 + (-49) = 49$$

Таким образом, числа, минимизирующие произведение, равны $x = -49$ и $y = 49$.

Шаг 7. Проверка произведения

Подставим $x = -49$ и $y = 49$ в выражение для произведения:

$$P(x) = x \cdot y = -49 \cdot 49 = -2401$$

Произведение чисел $-49$ и $49$ равно $-2401$, и это наименьшее возможное произведение для чисел, разность которых равна 98.

Ответ

Числа, которые минимизируют произведение при условии, что их разность равна 98, это $-49$ и $49$.

Ответ: -49; 49.