ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Пусть $x, y$ — данные положительные числа, тогда:
$y + x = 5;$
$y = 5 — x;$

Заданная функция:
$f(x) = yx^3 = (5 — x)x^3 = 5x^3 — x^4;$

Производная функции:
$f'(x) = 5(x^3)’ — (x^4)’ = 5 \cdot 3x^2 — 4x^3 = 15x^2 — 4x^3;$

Промежуток возрастания:
$15x^2 — 4x^3 \geq 0;$
$x^2 \cdot (15 — 4x) \geq 0;$
$15 — 4x \geq 0;$
$4x \leq 15;$
$x \leq 3,75;$

Точка максимума:
$x_{\max} = 3,75;$
$y = 5 — 3,75 = 1,25;$

Ответ: $5=3,75+1,25.$

Пусть $x$ и $y$ — положительные числа, такие что:

$$y + x = 5.$$

Нужно найти точку максимума функции $f(x) = yx^3$, где $y = 5 — x$, а также исследовать производную функции, найти промежуток возрастания и саму точку максимума.

Шаг 1: Задание функции

Нам дана зависимость $y + x = 5$, следовательно, $y = 5 — x$.

Теперь подставим это значение $y$ в заданную функцию $f(x) = yx^3$:

$$f(x) = (5 — x)x^3.$$

Раскроем скобки:

$$f(x) = 5x^3 — x^4.$$

Это и есть наша функция, которую нужно исследовать.

Шаг 2: Нахождение производной функции

Для того чтобы найти экстремумы функции $f(x)$, нужно вычислить её производную. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования.

$f(x) = 5x^3 — x^4$.

Вычислим производную каждого члена по отдельности:

Производная от $5x^3$ по $x$ (по правилу дифференцирования степени):

$$\frac{d}{dx} (5x^3) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2.$$

Производная от $-x^4$ по $x$:

$$\frac{d}{dx} (-x^4) = -4x^3.$$

Теперь соберем эти результаты:

$$f'(x) = 15x^2 — 4x^3.$$

Шаг 3: Исследование знака производной (параметры возрастания и убывания)

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, необходимо решить неравенство $f'(x) \geq 0$.

$$f'(x) = 15x^2 — 4x^3 \geq 0.$$

Выносим общий множитель $x^2$:

$$x^2(15 — 4x) \geq 0.$$

Теперь рассмотрим два множителя:

1. $x^2 \geq 0$ всегда, так как квадрат любого числа неотрицателен.
2. $15 — 4x \geq 0$ означает, что:

$$4x \leq 15,$$

или

$$x \leq 3,75.$$

Таким образом, функция будет возрастать на интервале $x \in [0, 3,75]$.

Шаг 4: Точка максимума

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти точку, где производная $f'(x)$ равна нулю, а затем проверить знак второй производной или другие условия.

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

$$15x^2 — 4x^3 = 0.$$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(15 — 4x) = 0.$$

Это уравнение имеет два корня:

1. $x^2 = 0$, что дает $x = 0$.
2. $15 — 4x = 0$, что дает $x = 3,75$.

Теперь, так как $x = 0$ не подходит (мы работаем с положительными числами), то точка максимума находится в $x = 3,75$.

Шаг 5: Нахождение значения функции в точке максимума

Чтобы найти значение $y$ в точке максимума, подставим $x = 3,75$ в выражение для $y$:

$$y = 5 — x = 5 — 3,75 = 1,25.$$

Таким образом, в точке максимума $x = 3,75$, значение $y = 1,25$.

Шаг 6: Ответ

Итак, точка максимума функции — это $x = 3,75$, $y = 1,25$. Ответ:

$$x + y = 3,75 + 1,25 = 5.$$

Ответ: $5=3,75+1,25.$