ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

Пусть $a, b$ — стороны прямоугольника, тогда:
$P = 2a + 2b = 56$;
$2b = 56 — 2a$;
$b = 28 — a$;

Площадь прямоугольника:
$S(a) = ab = a(28 — a) = 28a — a^2$;

Производная функции:
$S'(a) = (28a)’ — (a^2)’ = 28 — 2a$;

Промежуток возрастания:
$28 — 2a \geq 0$;
$2a \leq 28$;
$a \leq 14$;

Точка максимума:
$a_{\max} = 14$;
$b = 28 — 14 = 14$;

Ответ: 14 см; 14 см.

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника составляет 56 см. Формула для периметра прямоугольника:

$$P = 2a + 2b$$

Подставим известное значение периметра:

$$2a + 2b = 56$$

Разделим обе стороны на 2, чтобы упростить выражение:

$$a + b = 28$$

Выражение одной стороны через другую:

Из уравнения $a + b = 28$ можно выразить одну из сторон через другую. Например, выразим $b$ через $a$:

$$b = 28 — a$$

Площадь прямоугольника:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$$S = a \cdot b$$

Подставим выражение для $b$:

$$S(a) = a \cdot (28 — a) = 28a — a^2$$

Таким образом, площадь прямоугольника как функция от $a$ выглядит так:

$$S(a) = 28a — a^2$$

Поиск максимума площади:

Для того чтобы найти значение $a$, при котором площадь максимальна, нам нужно найти производную функции площади $S(a)$ по $a$ и приравнять её к нулю. Производная функции $S(a) = 28a — a^2$ будет вычисляться следующим образом:

$$S'(a) = \frac{d}{da}(28a) — \frac{d}{da}(a^2) = 28 — 2a$$

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$28 — 2a = 0$$

Решаем это уравнение:

$$2a = 28$$ $$a = 14$$

Проверка максимума:

Чтобы убедиться, что $a = 14$ соответствует максимальной площади, можно вычислить вторую производную функции площади:

$$S»(a) = -2$$

Поскольку вторая производная отрицательна ($S»(a) = -2 < 0$), функция $S(a)$ имеет локальный максимум в точке $a = 14$.

Нахождение значения $b$:

Теперь, когда мы знаем, что $a = 14$, подставим это значение в выражение для $b$:

$$b = 28 — a = 28 — 14 = 14$$

Ответ:

Таким образом, стороны прямоугольника, при которых его площадь максимальна, равны:

$$a = 14 \text{ см}, \quad b = 14 \text{ см}$$

Прямоугольник, обладающий наибольшей площадью при заданном периметре, является квадратом со сторонами по 14 см.

Ответ: 14 см; 14 см.