ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть $a, b$ — стороны прямоугольника, тогда:
$l = 2a + 2b = 200$;
$2b = 200 — 2a$;
$b = 100 — a$;

Площадь данного участка:
$S(a) = ab = a(100 — a) = 100a — a^2$;

Производная функции:
$S'(a) = (100a)’ — (a^2)’ = 100 — 2a$;

Промежуток возрастания:
$100 — 2a \geq 0$;
$2a \leq 100$;
$a \leq 50$;

Точка максимума:
$a_{\max} = 50$;
$b = 100 — 50 = 50$;

Ответ: 50 x 50 м.

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, и известно, что его периметр равен 200 м. Нужно найти, при каком значении $a$ площадь этого прямоугольника будет максимальной. Далее, мы будем искать максимальную площадь и определим соответствующие значения сторон.

1) Записать условие задачи

Периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен 200 м. По формуле для периметра прямоугольника, который равен $l = 2a + 2b$, где $a$ и $b$ — длина и ширина прямоугольника соответственно.

$$l = 2a + 2b = 200$$

Решим это уравнение относительно $b$ (ширины):

$$2a + 2b = 200 \quad \Rightarrow \quad 2b = 200 — 2a \quad \Rightarrow \quad b = 100 — a$$

Таким образом, мы получили, что $b = 100 — a$.

2) Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника можно выразить через его стороны как:

$$S(a) = ab$$

Теперь, используя полученную формулу для $b$, подставим ее в выражение для площади:

$$S(a) = a(100 — a) = 100a — a^2$$

Итак, мы получаем функцию площади от $a$:

$$S(a) = 100a — a^2$$

3) Нахождение производной функции площади

Чтобы найти точку максимума, нам нужно вычислить производную функции площади по переменной $a$. Производная от функции $S(a) = 100a — a^2$ вычисляется по стандартным правилам дифференцирования:

$$S'(a) = \frac{d}{da}(100a) — \frac{d}{da}(a^2)$$

Теперь вычислим производные каждого слагаемого:

$$S'(a) = 100 — 2a$$

4) Исследование функции на возрастание и убывание

Для нахождения максимума функции нам нужно понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает. Для этого исследуем знак производной $S'(a) = 100 — 2a$.

Площадь будет возрастать, когда производная положительна, и убывать, когда производная отрицательна. Для нахождения промежутков возрастания и убывания приравняем производную к нулю:

$$100 — 2a = 0$$

Решим это уравнение:

$$2a = 100 \quad \Rightarrow \quad a = 50$$

Теперь исследуем знак производной на промежутках:

• Если $a < 50$, то $100 — 2a > 0$, и функция возрастает.
• Если $a > 50$, то $100 — 2a < 0$, и функция убывает.

Таким образом, функция $S(a)$ возрастает на промежутке $a \in [0, 50]$ и убывает на промежутке $a \in [50, \infty)$.

5) Найдем точку максимума

Точка максимума функции — это точка, в которой производная равна нулю. Мы уже нашли, что $a = 50$ — это точка, в которой производная равна нулю.

Теперь найдем значение $b$ при $a = 50$. Подставляем $a = 50$ в формулу для $b$:

$$b = 100 — a = 100 — 50 = 50$$

Таким образом, при максимальной площади $a = 50$ и $b = 50$.

6) Проверка максимума

Чтобы убедиться, что найденная точка является максимумом, можно рассмотреть вторую производную функции $S(a)$:

$$S»(a) = \frac{d}{da}(100 — 2a) = -2$$

Поскольку вторая производная отрицательна ($S»(a) = -2$), функция $S(a)$ имеет локальный максимум в точке $a = 50$.

7) Ответ

Максимальная площадь будет при $a = 50$ и $b = 50$. Таким образом, максимальная площадь прямоугольника:

$$S_{\max} = 50 \times 50 = 2500 \, \text{м}^2$$

Ответ: максимальная площадь прямоугольника составляет $2500 \, \text{м}^2$, при этом его стороны равны $50 \, \text{м} \times 50 \, \text{м}$.