ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Площадь прямоугольника составляет 16 см². Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть $a, b$ — стороны прямоугольника, тогда:
$S = ab = 16$;
$b = \frac{16}{a}$;

Периметр прямоугольника:
$P(a) = 2a + 2b = 2a + 2 \cdot \frac{16}{a} = 2a + \frac{32}{a}$;

Производная функции:
$P'(a) = (2a)’ + 32 \left( \frac{1}{a} \right)’ = 2 + 32 \cdot \left( -\frac{1}{a^2} \right) = \frac{2a^2 — 32}{a^2}$;

Промежуток возрастания:
$2a^2 — 32 \geq 0$;
$a^2 — 16 \geq 0$;
$(a + 4)(a — 4) \geq 0$;
$a \leq -4$ или $a \geq 4$;

Точка минимума:
$a_{\min} = 4$;
$b = \frac{16}{4} = 4$;

Ответ: 4 x 4 см.

Дан прямоугольник с площадью 16 см², нужно найти его размеры, при которых периметр этого прямоугольника будет наименьшим.

1) Формулировка задачи

Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. Из условия задачи известно, что площадь прямоугольника составляет 16 см², то есть:

$$S = ab = 16$$

Необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых периметр прямоугольника $P$ будет минимальным. Формула для периметра прямоугольника:

$$P = 2a + 2b$$

Однако у нас есть дополнительное условие: площадь прямоугольника равна 16. То есть $ab = 16$, и из этого мы можем выразить одну из сторон через другую.

2) Выражение $b$ через $a$

Из уравнения площади $ab = 16$ выразим $b$:

$$b = \frac{16}{a}$$

Теперь можем подставить это выражение для $b$ в формулу периметра.

3) Формула для периметра через $a$

Подставим $b = \frac{16}{a}$ в формулу для периметра $P$:

$$P(a) = 2a + 2b = 2a + 2 \cdot \frac{16}{a} = 2a + \frac{32}{a}$$

Теперь у нас есть функция периметра от $a$:

$$P(a) = 2a + \frac{32}{a}$$

4) Нахождение производной функции периметра

Чтобы найти, при каком значении $a$ периметр будет минимальным, нужно вычислить производную функции периметра $P(a)$ и приравнять её к нулю. Для этого воспользуемся стандартными правилами дифференцирования:

$$P'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a + \frac{32}{a} \right)$$

Производная от $2a$ равна 2, а производная от $\frac{32}{a}$ вычисляется по правилу дифференцирования функции $\frac{1}{a}$, то есть:

$$\left( \frac{32}{a} \right)’ = -\frac{32}{a^2}$$

Таким образом, производная функции периметра будет:

$$P'(a) = 2 — \frac{32}{a^2}$$

5) Нахождение критической точки

Чтобы найти критические точки (точки минимума или максимума), приравняем производную к нулю:

$$2 — \frac{32}{a^2} = 0$$

Решим это уравнение для $a$:

$$\frac{32}{a^2} = 2$$ $$a^2 = \frac{32}{2} = 16$$ $$a = \pm 4$$

Поскольку длина стороны прямоугольника не может быть отрицательной, принимаем $a = 4$.

6) Проверка второй производной

Чтобы удостовериться, что найденная точка действительно минимальна, найдем вторую производную функции периметра:

$$P»(a) = \frac{d}{da} \left( 2 — \frac{32}{a^2} \right)$$

Производная от 2 равна 0, а производная от $-\frac{32}{a^2}$ будет:

$$\left( -\frac{32}{a^2} \right)’ = 64 \cdot \frac{1}{a^3}$$

Таким образом, вторая производная:

$$P»(a) = \frac{64}{a^3}$$

Подставляем $a = 4$:

$$P»(4) = \frac{64}{4^3} = \frac{64}{64} = 1$$

Поскольку вторая производная положительна, то точка $a = 4$ является точкой минимума.

7) Определение значения $b$

Теперь, когда мы нашли, что $a = 4$, подставим это значение в выражение для $b$:

$$b = \frac{16}{a} = \frac{16}{4} = 4$$

8) Ответ

Таким образом, стороны прямоугольника должны быть равны $a = 4$ см и $b = 4$ см, чтобы периметр был минимальным.

Ответ: размеры прямоугольника $4 \times 4$ см.