ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 м². Каковы должны быть её размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?

Пусть $a, b$ — стороны прямоугольника, тогда:
$S = ab = 2500$;
$b = \frac{2500}{a}$;

Периметр данной площадки:
$P(a) = 2a + 2b = 2a + 2 \cdot \frac{2500}{a} = 2a + \frac{5000}{a}$;

Производная функции:
$P'(a) = (2a)’ + 5000 \left( \frac{1}{a} \right)’ = 2 + 5000 \cdot \left( -\frac{1}{a^2} \right) = \frac{2a^2 — 5000}{a^2}$;

Промежуток возрастания:
$2a^2 — 5000 \geq 0$;
$a^2 — 2500 \geq 0$;
$(a + 50)(a — 50) \geq 0$;
$a \leq -50$ или $a \geq 50$;

Точка минимума:
$a_{\min} = 50$;
$b = \frac{2500}{50} = 50$;

Ответ: $50 \times 50$ м.

Нужно найти такие размеры прямоугольной площадки $a$ и $b$, чтобы при заданной площади $S = ab = 2500 \, \text{м}^2$ периметр был минимальным. Периметр будет минимален, когда стороны прямоугольника будут равны.

1) Запишем основные формулы:

Площадь прямоугольника:

$$S = ab = 2500$$

Периметр прямоугольника:

$$P = 2a + 2b$$

Из условия площади $ab = 2500$, мы можем выразить одну сторону через другую. Например, выразим $b$ через $a$:

$$b = \frac{2500}{a}$$

Теперь мы можем подставить это выражение для $b$ в формулу для периметра.

2) Формула для периметра через $a$:

Подставим $b = \frac{2500}{a}$ в выражение для периметра:

$$P(a) = 2a + 2b = 2a + 2 \cdot \frac{2500}{a} = 2a + \frac{5000}{a}$$

Теперь у нас есть функция периметра от $a$:

$$P(a) = 2a + \frac{5000}{a}$$

3) Нахождение производной функции периметра:

Чтобы минимизировать периметр, нужно найти его производную и приравнять её к нулю, чтобы найти критическую точку. Производная функции $P(a)$ будет:

$$P'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a + \frac{5000}{a} \right)$$

Производная от $2a$ равна 2, а производная от $\frac{5000}{a}$ вычисляется с использованием правила для функции $\frac{1}{a}$, то есть:

$$\left( \frac{5000}{a} \right)’ = -\frac{5000}{a^2}$$

Таким образом, производная функции периметра:

$$P'(a) = 2 — \frac{5000}{a^2}$$

4) Нахождение критической точки:

Чтобы найти точку минимума, приравняем производную к нулю:

$$2 — \frac{5000}{a^2} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{5000}{a^2} = 2$$ $$a^2 = \frac{5000}{2} = 2500$$ $$a = \sqrt{2500} = 50$$

Итак, мы нашли, что $a = 50$.

5) Определение значения $b$:

Теперь, зная, что $a = 50$, подставим это значение в уравнение для $b$:

$$b = \frac{2500}{a} = \frac{2500}{50} = 50$$

6) Проверка второй производной:

Чтобы убедиться, что точка $a = 50$ действительно является минимумом, проверим вторую производную функции $P(a)$. Для этого найдём вторую производную от $P'(a)$:

$$P»(a) = \frac{d}{da} \left( 2 — \frac{5000}{a^2} \right)$$

Производная от 2 равна 0, а производная от $-\frac{5000}{a^2}$ будет:

$$\left( -\frac{5000}{a^2} \right)’ = 10000 \cdot \frac{1}{a^3}$$

Таким образом, вторая производная:

$$P»(a) = \frac{10000}{a^3}$$

Подставляем $a = 50$:

$$P»(50) = \frac{10000}{50^3} = \frac{10000}{125000} = 0.08$$

Поскольку вторая производная положительна ($P»(50) > 0$), то функция имеет минимум в точке $a = 50$.

7) Ответ:

При минимальном периметре размеры прямоугольника составляют:

$$a = 50 \, \text{м}, \quad b = 50 \, \text{м}$$

Таким образом, чтобы периметр был минимальным, прямоугольник должен быть квадратом со стороной 50 м.