ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На графике функции у = х² найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5).

На графике функции $y = x^2$ нужно найти точку $M$, ближайшую к $A(0; 1,5)$.

1. Пусть $a$ — абсцисса искомой точки, тогда:

$x = a,\ y = a^2$.

2. Длина отрезка $AM$:

$l(a) = \sqrt{(0 — a)^2 + (1,5 — a^2)^2} = \sqrt{a^2 + 2,25 — 3a^2 + a^4}$;
$l(a) = \sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25} = \sqrt{t(a)}$, где $t(a) = a^4 — 2a^2 + 2,25$.

3. Производные функций:

$l'(t) = (\sqrt{t})’ = \frac{1}{2\sqrt{t}} > 0$;
$t'(a) = (a^4)’ — 2(a^2)’ + (2,25)’ = 4a^3 — 2 \cdot 2a + 0 = 4a^3 — 4a$.

4. Промежуток возрастания:

$4a^3 — 4a \geq 0$;
$4a(a^2 — 1) \geq 0$;
$(a + 1)(a — 1) \geq 0$;
$-1 \leq a \leq 0$ или $a \geq 1$.

5. Точки минимума:

$a_{min} = \pm 1$;
$x = \pm 1$;
$y = (\pm 1)^2 = 1$.

Ответ: $M_1(-1; 1)$, $M_2(1; 1)$.

Нужно найти точку $M$ на графике функции $y = x^2$, которая будет ближайшей к точке $A(0; 1,5)$. Эта задача сводится к минимизации расстояния между точкой $A$ и точками на графике функции.

1. Постановка задачи:

Пусть точка $M$ на графике функции имеет координаты $M(a; a^2)$, где $a$ — абсцисса точки $M$. Мы ищем такую точку, для которой расстояние от $M$ до точки $A(0; 1,5)$ минимально.

2. Формула для расстояния:

Для нахождения расстояния между точками $A(0; 1,5)$ и $M(a; a^2)$, используем формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

$$l(a) = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2},$$

где $(x_1, y_1) = (0, 1,5)$ — координаты точки $A$, а $(x_2, y_2) = (a, a^2)$ — координаты точки $M$. Подставим эти значения в формулу:

$$l(a) = \sqrt{(a — 0)^2 + (a^2 — 1,5)^2} = \sqrt{a^2 + (a^2 — 1,5)^2}.$$

Теперь упростим выражение под корнем:

$$l(a) = \sqrt{a^2 + (a^4 — 3a^2 + 2,25)} = \sqrt{a^4 — 2a^2 + 2,25}.$$

3. Упрощение задачи:

Чтобы минимизировать расстояние $l(a)$, достаточно минимизировать выражение внутри корня:

$$t(a) = a^4 — 2a^2 + 2,25.$$

Площадь расстояния будет минимальной, когда минимизируется функция $t(a)$, поскольку корень является монотонной функцией и не изменяет порядок минимумов.

4. Производная функции:

Для минимизации функции $t(a)$ найдем её производную по $a$:

$$t'(a) = \frac{d}{da}(a^4 — 2a^2 + 2,25) = 4a^3 — 4a.$$

5. Нахождение критических точек:

Теперь решим уравнение $t'(a) = 0$, чтобы найти критические точки:

$$4a^3 — 4a = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4a(a^2 — 1) = 0.$$

Это уравнение имеет два решения:

$$a = 0 \quad \text{или} \quad a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1.$$

Таким образом, критические точки — это $a = -1$, $a = 0$ и $a = 1$.

6. Проверка на минимум:

Теперь нужно проверить, в какой из критических точек функция $t(a)$ достигает минимума. Для этого рассмотрим второй производной тест.

Вычислим вторую производную $t»(a)$:

$$t»(a) = \frac{d}{da}(4a^3 — 4a) = 12a^2 — 4.$$

Теперь подставим значения $a = -1$, $a = 0$ и $a = 1$ в $t»(a)$:

• Для $a = 0$:

  $$t»(0) = 12(0)^2 — 4 = -4.$$

  Это значение отрицательно, что означает, что при $a = 0$ у нас локальный максимум.

• Для $a = 1$:

  $$t»(1) = 12(1)^2 — 4 = 8.$$

  Это значение положительное, значит, при $a = 1$ у нас локальный минимум.

• Для $a = -1$:

  $$t»(-1) = 12(-1)^2 — 4 = 8.$$

  Это также положительное значение, что означает, что при $a = -1$ тоже локальный минимум.

7. Заключение:

Таким образом, минимальные значения функции $t(a)$ достигаются в точках $a = -1$ и $a = 1$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^2$, чтобы найти соответствующие $y$-координаты:

• Для $a = 1$, точка $M_2 = (1, 1^2) = (1, 1)$.
• Для $a = -1$, точка $M_1 = (-1, (-1)^2) = (-1, 1)$.

Ответ:

Таким образом, точки, ближайшие к точке $A(0; 1,5)$, это $M_1(-1; 1)$ и $M_2(1; 1)$.