ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.31 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

На графике функции $y=\sqrt{x}$ найдите точку М, ближайшую к точке А(4,5; 0).

На графике функции $y = \sqrt{x}$ найти точку $M$, ближайшую к $A(4,5; 0)$.

Пусть $a$ — абсцисса искомой точки, тогда:
$x = a, \ y = \sqrt{a}$;

Длина отрезка $AM$:
$l(a) = \sqrt{(4,5 — a)^2 + (0 — \sqrt{a})^2} = \sqrt{20,25 — 9a + a^2 + a};$
$l(a) = \sqrt{a^2 — 8a + 20,25} = \sqrt{t(a)},$ где $t(a) = a^2 — 8a + 20,25;$

Производные функций:
$l'(t) = (\sqrt{t})’ = \frac{1}{2\sqrt{t}} > 0;$
$t'(a) = (a^2)’ + (-8a + 20,25)’ = 2a — 8;$

Промежуток возрастания:
$2a — 8 \geq 0;$
$2a \geq 8;$
$a \geq 4;$

Точки минимума:
$a_{min} = 4;$
$x = 4;$
$y = \sqrt{4} = 2;$

Ответ: $M(4; 2).$

Рассмотрим задачу: на графике функции $y = \sqrt{x}$ необходимо найти точку $M$, ближайшую к точке $A(4,5; 0)$.

Шаг 1: Постановка задачи

Нам нужно найти точку $M(a; \sqrt{a})$, которая лежит на графике функции $y = \sqrt{x}$, а также ближайшую к точке $A(4,5; 0)$.

Шаг 2: Формула для расстояния

Для нахождения расстояния между точками $A(4,5; 0)$ и $M(a; \sqrt{a})$, используем стандартную формулу для расстояния между двумя точками на плоскости:

$$l(a) = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2},$$

где $(x_1, y_1) = (4, 0)$ — координаты точки $A$, а $(x_2, y_2) = (a, \sqrt{a})$ — координаты точки $M$.

Подставляем эти значения:

$$l(a) = \sqrt{(a — 4)^2 + (\sqrt{a} — 0)^2} = \sqrt{(a — 4)^2 + a}.$$

Шаг 3: Упрощение выражения для расстояния

Раскроем скобки в выражении для $l(a)$:

$$l(a) = \sqrt{(a — 4)^2 + a} = \sqrt{a^2 — 8a + 16 + a} = \sqrt{a^2 — 8a + a + 16}.$$

Теперь получаем:

$$l(a) = \sqrt{a^2 — 8a + 16}.$$

Шаг 4: Минимизация функции

Для минимизации расстояния $l(a)$ достаточно минимизировать выражение под корнем:

$$t(a) = a^2 — 8a + 16.$$

Теперь найдем первую производную функции $t(a)$:

$$t'(a) = \frac{d}{da}(a^2 — 8a + 16) = 2a — 8.$$

Шаг 5: Нахождение критической точки

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

$$2a — 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4.$$

Шаг 6: Проверка на минимум

Чтобы убедиться, что точка $a = 4$ — это минимум, найдем вторую производную функции $t(a)$:

$$t»(a) = \frac{d}{da}(2a — 8) = 2.$$

Так как вторая производная положительная ($t»(a) = 2$), то точка $a = 4$ является точкой минимума.

Шаг 7: Нахождение координат точки $M$

Теперь, зная, что $a = 4$, найдем координаты точки $M$. Абсцисса точки $M$ равна $a = 4$, а ордината вычисляется по формуле $y = \sqrt{x}$:

$$y = \sqrt{4} = 2.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M(4; 2)$.

Ответ:

Точка $M$, ближайшая к точке $A(4,5; 0)$, имеет координаты $M(4; 2)$.