ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $a$ — сторона основания и $h$ — высота бака, тогда:
$V = a^2 \cdot h = 32$;
$h = \frac{32}{a^2}$;

Площадь полной поверхности бака:
$S(a) = a^2 + 4ah = a^2 + 4a \cdot \frac{32}{a^2} = a^2 + \frac{128}{a}$;

Производная функции:
$S'(a) = (a^2)’ + 128\left(\frac{1}{a}\right)’ = 2a + 128 \cdot \left(-\frac{1}{a^2}\right) = \frac{2a^3 — 128}{a^2}$;

Промежуток возрастания:
$2a^3 — 128 \geq 0$;
$2a^3 \geq 128$;
$a^3 \geq 64$;
$a \geq 4$;

Точка минимума:
$a_{\min} = 4$;
$h = \frac{32}{4^2} = \frac{32}{16} = 2$;

Ответ: 4 дм; 4 дм; 2 дм.

Необходимо найти размеры открытого металлического бака с квадратным основанием, который должен вмещать 32 литра воды, при которых будет использоваться наименьшее количество материала для его изготовления.

Шаг 1: Геометрия бака и объем

Пусть:

• $a$ — длина стороны основания бака (в сантиметрах),
• $h$ — высота бака (в сантиметрах).

Объем бака $V$ равен произведению площади основания на высоту. Площадь основания — это площадь квадрата со стороной $a$, то есть $a^2$. Таким образом, объем бака:

$$V = a^2 \cdot h.$$

Согласно условию задачи, объем бака должен быть 32 литра, что эквивалентно 32000 кубическим сантиметрам (так как 1 литр = 1000 кубических сантиметров). Поэтому:

$$a^2 \cdot h = 32000.$$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$$h = \frac{32000}{a^2}.$$

Шаг 2: Площадь полной поверхности бака

Площадь поверхности бака состоит из:

1. Площади основания $a^2$ (так как основание квадратное),
2. Площадей боковых стенок (их 4, и каждая имеет площадь $a \cdot h$).

Общая площадь поверхности бака $S(a)$ будет:

$$S(a) = a^2 + 4 \cdot a \cdot h.$$

Теперь подставим выражение для $h$ из шага 1:

$$S(a) = a^2 + 4 \cdot a \cdot \frac{32000}{a^2} = a^2 + \frac{128000}{a}.$$

Таким образом, функция площади поверхности будет:

$$S(a) = a^2 + \frac{128000}{a}.$$

Шаг 3: Минимизация площади поверхности

Чтобы найти такие размеры, при которых площадь поверхности будет минимальной, нам нужно найти минимум функции $S(a)$. Для этого нужно вычислить производную функции $S(a)$ и приравнять её к нулю.

3.1: Первая производная функции

Найдем первую производную функции площади $S(a)$ по переменной $a$:

$$S'(a) = \frac{d}{da} \left( a^2 + \frac{128000}{a} \right).$$

Первая производная от $a^2$ равна $2a$, а производная от $\frac{128000}{a}$ — это $-\frac{128000}{a^2}$. Таким образом, получаем:

$$S'(a) = 2a — \frac{128000}{a^2}.$$

3.2: Нахождение критической точки

Теперь приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$2a — \frac{128000}{a^2} = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $a^2$ (чтобы избавиться от дроби):

$$2a^3 — 128000 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$2a^3 = 128000 \quad \Rightarrow \quad a^3 = 64000 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[3]{64000}.$$

Вычислим кубический корень из 64000:

$$a = 40.$$

3.3: Проверка на минимум

Для того чтобы удостовериться, что найденное значение $a = 40$ является точкой минимума, вычислим вторую производную функции $S(a)$.

Найдем вторую производную функции $S(a)$:

$$S»(a) = \frac{d}{da} \left( 2a — \frac{128000}{a^2} \right) = 2 + \frac{256000}{a^3}.$$

Подставим $a = 40$ в выражение для второй производной:

$$S»(40) = 2 + \frac{256000}{40^3}.$$

Вычислим $40^3 = 64000$, следовательно:

$$S»(40) = 2 + \frac{256000}{64000} = 2 + 4 = 6.$$

Так как вторая производная положительна ($S»(40) = 6$), это подтверждает, что точка $a = 40$ является точкой минимума.

Шаг 4: Нахождение высоты $h$

Теперь, зная, что $a = 40$, найдем высоту $h$. Используем выражение для $h$, которое мы вывели на шаге 1:

$$h = \frac{32000}{a^2} = \frac{32000}{40^2} = \frac{32000}{1600} = 20.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, для минимального использования материала бак должен иметь следующие размеры:

• Сторона основания $a = 40$ см,
• Высота $h = 20$ см.

Площадь поверхности будет минимальной, и объем бака будет равен 32 литра.

Ответ: 4 дм; 4 дм; 2 дм.