ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём 343 м³. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Пусть $a$ — сторона основания и $h$ — высота бака, тогда:
$V = a^2 \cdot h = 343$;
$h = \frac{343}{a^2}$;

Площадь полной поверхности бака:
$S(a) = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a \cdot \frac{343}{a^2} = 2a^2 + \frac{1\,372}{a}$;

Производная функции:
$S'(a) = 2(a^2)’ + 1\,372 \left( \frac{1}{a} \right)’$;
$S'(a) = 2 \cdot 2a + 1\,372 \cdot \left( -\frac{1}{a^2} \right) = \frac{4a^3 — 1\,372}{a^2}$;

Промежуток возрастания:
$4a^3 — 1\,372 \geq 0$;
$a^3 — 343 \geq 0$;
$a^3 \geq 343$;
$a \geq 7$;

Точка минимума:
$a_{\min} = 7$;
$h = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7$;

Ответ: 7 м; 7 м; 7 м.

Задача требует нахождения таких размеров закрытого металлического бака с квадратным дном, при которых будет использовано наименьшее количество материала для его изготовления, если объем бака должен составлять 343 м³.

1. Обозначения и начальные данные:

• Пусть $a$ — длина стороны квадратного основания бака (в метрах),
• Пусть $h$ — высота бака (в метрах).

Объем бака $V$ равен произведению площади основания на высоту:

$$V = a^2 \cdot h.$$

Из условия задачи известно, что объем бака должен быть равен 343 м³:

$$a^2 \cdot h = 343.$$

Из этого уравнения можно выразить высоту $h$ через сторону основания $a$:

$$h = \frac{343}{a^2}.$$

2. Площадь поверхности бака:

Бак имеет закрытое основание, и его поверхность состоит из:

1. Площади основания $a^2$,
2. Площадей боковых стенок (их 4, и каждая имеет площадь $a \cdot h$),
3. Площади верхней крышки, которая также имеет площадь $a^2$.

Общая площадь поверхности $S(a)$ будет суммой этих площадей:

$$S(a) = 2a^2 + 4ah.$$

Теперь подставим выражение для $h$ из уравнения для объема:

$$S(a) = 2a^2 + 4a \cdot \frac{343}{a^2} = 2a^2 + \frac{1372}{a}.$$

3. Минимизация площади поверхности:

Для минимизации количества материала, который пойдет на изготовление бака, нужно минимизировать площадь его поверхности $S(a)$.

3.1. Первая производная функции площади:

Найдем первую производную функции площади $S(a)$ по переменной $a$:

$$S'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a^2 + \frac{1372}{a} \right).$$

Производная от $2a^2$ равна $4a$, а производная от $\frac{1372}{a}$ будет $-\frac{1372}{a^2}$. Таким образом, первая производная функции площади:

$$S'(a) = 4a — \frac{1372}{a^2}.$$

3.2. Нахождение критической точки:

Чтобы найти точку минимума, приравняем первую производную $S'(a)$ к нулю:

$$4a — \frac{1372}{a^2} = 0.$$

Умножим обе части уравнения на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

$$4a^3 — 1372 = 0.$$

Решим это уравнение:

$$4a^3 = 1372 \quad \Rightarrow \quad a^3 = \frac{1372}{4} = 343 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt[3]{343}.$$

Так как $343 = 7^3$, то:

$$a = 7.$$

3.3. Проверка на минимум:

Теперь, чтобы убедиться, что найденное значение $a = 7$ действительно является точкой минимума, найдем вторую производную функции $S(a)$.

Вторая производная функции $S(a)$ будет равна:

$$S»(a) = \frac{d}{da} \left( 4a — \frac{1372}{a^2} \right) = 4 + \frac{2744}{a^3}.$$

Подставим $a = 7$ в выражение для второй производной:

$$S»(7) = 4 + \frac{2744}{7^3} = 4 + \frac{2744}{343}.$$

Вычислим:

$$\frac{2744}{343} = 8, \quad S»(7) = 4 + 8 = 12.$$

Поскольку вторая производная положительна, то $a = 7$ действительно является точкой минимума.

4. Нахождение высоты $h$:

Теперь, зная, что $a = 7$, найдем высоту $h$, используя выражение для $h$, полученное на шаге 1:

$$h = \frac{343}{a^2} = \frac{343}{7^2} = \frac{343}{49} = 7.$$

5. Ответ:

Таким образом, для минимального использования материала бак должен иметь следующие размеры:

• Сторона основания $a = 7$ м,
• Высота $h = 7$ м.

Площадь поверхности будет минимальной, и объем бака будет равен 343 м³.

Ответ: 7 м; 7 м; 7 м.