ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.35 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Диагональ боковой грани правильной четырёхугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объём призмы будет наибольшим?

Пусть $a$ — сторона основания и $h$ — высота призмы, тогда:
$d^2 = h^2 + a^2$;
$a^2 = d^2 — h^2$;
$a = \sqrt{d^2 — h^2}$;

Объем данной призмы:
$V(h) = a^2 \cdot h = (d^2 — h^2) \cdot h = d^2 \cdot h — h^3$;

Производная функции:
$V'(h) = d^2(h)’ — (h^3)’ = d^2 \cdot 1 — 3h^2 = d^2 — 3h^2$;

Промежуток возрастания:
$d^2 — 3h^2 \geq 0$;
$3h^2 — d^2 \leq 0$;
$(\sqrt{3}h + a)(\sqrt{3}h — a) \leq 0$;
$-\frac{d}{\sqrt{3}} \leq h \leq \frac{d}{\sqrt{3}}$;

Точка максимума:
$h_{\max} = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$;

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Шаг 1: Выражение для объема призмы

Дано, что $a$ — это сторона основания призмы, а $h$ — её высота. Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где гипотенуза $d$ является диагональю основания призмы, а катеты — сторона основания $a$ и высота $h$, получаем:

$$d^2 = h^2 + a^2$$

или, выражая $a^2$ через $d^2$ и $h^2$:

$$a^2 = d^2 — h^2$$

Теперь, объем призмы $V$ можно выразить через площадь основания (которая равна $a^2$) и высоту $h$:

$$V(h) = a^2 \cdot h$$

Подставляем в это выражение $a^2 = d^2 — h^2$:

$$V(h) = (d^2 — h^2) \cdot h$$

Раскрываем скобки:

$$V(h) = d^2 \cdot h — h^3$$

Таким образом, объем призмы выражается через высоту $h$ следующим образом:

$$V(h) = d^2 h — h^3$$

Шаг 2: Производная функции объема

Для нахождения экстремумов объема, вычислим производную функции объема $V(h)$. Возьмем производную от каждого слагаемого по $h$:

$$V'(h) = \frac{d}{dh}(d^2 h) — \frac{d}{dh}(h^3)$$

Первая производная:

$$\frac{d}{dh}(d^2 h) = d^2$$

Вторая производная:

$$\frac{d}{dh}(h^3) = 3h^2$$

Таким образом, производная функции объема:

$$V'(h) = d^2 — 3h^2$$

Шаг 3: Промежуток возрастания

Теперь нужно найти промежуток, на котором функция объема возрастает. Для этого необходимо решить неравенство:

$$V'(h) = d^2 — 3h^2 \geq 0$$

Переносим все в одну сторону:

$$d^2 \geq 3h^2$$

Делим обе части на 3:

$$\frac{d^2}{3} \geq h^2$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$\frac{d}{\sqrt{3}} \geq h$$

Это неравенство даёт ограничение на $h$, то есть:

$$-\frac{d}{\sqrt{3}} \leq h \leq \frac{d}{\sqrt{3}}$$

Так как высота $h$ не может быть отрицательной, нас интересует только верхнее ограничение:

$$0 \leq h \leq \frac{d}{\sqrt{3}}$$

Итак, функция объема возрастает на интервале $\left[ 0, \frac{d}{\sqrt{3}} \right]$.

Шаг 4: Точка максимума

Точка максимума объема будет соответствовать значению $h$, при котором производная функции объема $V'(h)$ равна нулю:

$$V'(h) = d^2 — 3h^2 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$d^2 = 3h^2$$

Делим обе части на 3:

$$h^2 = \frac{d^2}{3}$$

Извлекаем квадратный корень:

$$h = \frac{d}{\sqrt{3}}$$

Итак, точка максимума объема $h_{\max} = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

Ответ:

Максимум объема будет достигаться при высоте $h = \frac{d}{\sqrt{3}}$, что эквивалентно $h_{\max} = \frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.