ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = x^2 — 8x + 19$, $[-1; 5]$;

б) $y = x^2 + 4x — 3$, $[0; 2]$;

в) $y = 2x^2 — 8x + 6$, $[-1; 4]$;

г) $y = -3x^2 + 6x — 10$, $[-2; 9]$

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке:

а) $y = x^2 — 8x + 19$, $[-1; 5]$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ + (-8x + 19)’ = 2x — 8$;
Стационарные точки:
$2x — 8 = 0$;
$2x = 8$;
$x = 4$;
Значения функции:
$y(-1) = (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28$;
$y(4) = 4^2 — 8 \cdot 4 + 19 = 16 — 32 + 19 = 3$;
$y(5) = 5^2 — 8 \cdot 5 + 19 = 25 — 40 + 19 = 4$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 3$; $y_{\text{наиб}} = 28$.

б) $y = x^2 + 4x — 3$, $[0; 2]$;
Производная функции:
$y'(x) = (x^2)’ + (4x — 3)’ = 2x + 4$;
Стационарные точки:
$2x + 4 = 0$;
$2x = -4$;
$x = -2$;
Значения функции:
$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 — 3 = -3$;
$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = 4 + 8 — 3 = 9$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -3$; $y_{\text{наиб}} = 9$.

в) $y = 2x^2 — 8x + 6$, $[-1; 4]$;
Производная функции:
$y'(x) = 2(x^2)’ + (-8x + 6)’ = 2 \cdot 2x — 8 = 4x — 8$;
Стационарные точки:
$4x — 8 = 0$;
$4x = 8$;
$x = 2$;
Значения функции:
$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$;
$y(2) = 2 \cdot 2^2 — 8 \cdot 2 + 6 = 8 — 16 + 6 = -2$;
$y(4) = 2 \cdot 4^2 — 8 \cdot 4 + 6 = 32 — 32 + 6 = 6$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -2$; $y_{\text{наиб}} = 16$.

г) $y = -3x^2 + 6x — 10$, $[-2; 9]$;
Производная функции:
$y'(x) = -3(x^2)’ + (6x — 10)’ = -3 \cdot 2x + 6 = 6 — 6x$;
Стационарные точки:
$6 — 6x = 0$;
$6x = 6$;
$x = 1$;
Значения функции:
$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 6 \cdot (-2) — 10 = -12 — 12 — 10 = -34$;
$y(1) = -3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 10 = -3 + 6 — 10 = -7$;
$y(9) = -3 \cdot 9^2 + 6 \cdot 9 — 10 = -243 + 54 — 10 = -199$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -199$; $y_{\text{наиб}} = -7$.

Найти наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке

а) $y = x^2 — 8x + 19$, отрезок $[-1; 5]$

Область определения
Функция является многочленом второй степени, следовательно, определена при всех $x \in \mathbb{R}$. Отрезок $[-1; 5] \subset \mathbb{R}$, значит, функция определена на всём отрезке.

Производная
Находим производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 8x + 19) = 2x — 8$$

Стационарные точки
Решим уравнение $y'(x) = 0$:

$$2x — 8 = 0 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$$

Точка $x = 4$ принадлежит отрезку $[-1; 5]$

Значения функции на концах и в стационарной точке
Подставим в исходную функцию:

$$y(-1) = (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 19 = 1 + 8 + 19 = 28$$ $$y(4) = 4^2 — 8 \cdot 4 + 19 = 16 — 32 + 19 = 3$$ $$y(5) = 5^2 — 8 \cdot 5 + 19 = 25 — 40 + 19 = 4$$

Ответ
Минимум: $y = 3$ при $x = 4$
Максимум: $y = 28$ при $x = -1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 3; \quad y_{\text{наиб}} = 28$

б) $y = x^2 + 4x — 3$, отрезок $[0; 2]$

Область определения
Функция — многочлен второй степени, определена при всех $x \in \mathbb{R}$. На отрезке $[0; 2]$ функция определена.

Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x — 3) = 2x + 4$$

Стационарные точки

$$2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$$

Точка $x = -2 \notin [0; 2]$, значит, не учитывается

Значения функции на концах

$$y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 — 3 = -3$$ $$y(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 — 3 = 4 + 8 — 3 = 9$$

Ответ
Минимум: $y = -3$ при $x = 0$
Максимум: $y = 9$ при $x = 2$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 9$

в) $y = 2x^2 — 8x + 6$, отрезок $[-1; 4]$

Область определения
Функция — многочлен, определена на всей числовой прямой. Отрезок допустим.

Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 — 8x + 6) = 4x — 8$$

Стационарные точки

$$4x — 8 = 0 \Rightarrow x = 2$$

Точка $x = 2 \in [-1; 4]$

Значения функции

$$y(-1) = 2 \cdot (-1)^2 — 8 \cdot (-1) + 6 = 2 + 8 + 6 = 16$$ $$y(2) = 2 \cdot 4 — 8 \cdot 2 + 6 = 8 — 16 + 6 = -2$$ $$y(4) = 2 \cdot 16 — 8 \cdot 4 + 6 = 32 — 32 + 6 = 6$$

Ответ
Минимум: $y = -2$ при $x = 2$
Максимум: $y = 16$ при $x = -1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -2; \quad y_{\text{наиб}} = 16$

г) $y = -3x^2 + 6x — 10$, отрезок $[-2; 9]$

Область определения
Функция — многочлен, определена всюду. Отрезок корректен.

Производная

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x — 10) = -6x + 6 = 6 — 6x$$

Стационарные точки

$$6 — 6x = 0 \Rightarrow x = 1$$

$x = 1 \in [-2; 9]$

Значения функции

$$y(-2) = -3 \cdot 4 + 6 \cdot (-2) — 10 = -12 — 12 — 10 = -34$$ $$y(1) = -3 \cdot 1 + 6 \cdot 1 — 10 = -3 + 6 — 10 = -7$$ $$y(9) = -3 \cdot 81 + 6 \cdot 9 — 10 = -243 + 54 — 10 = -199$$

Ответ
Минимум: $y = -199$ при $x = 9$
Максимум: $y = -7$ при $x = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -199; \quad y_{\text{наиб}} = -7$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = 3; \quad y_{\text{наиб}} = 28$
б) $y_{\text{наим}} = -3; \quad y_{\text{наиб}} = 9$
в) $y_{\text{наим}} = -2; \quad y_{\text{наиб}} = 16$
г) $y_{\text{наим}}=-199;y_{\text{наиб}}=-7$