ГДЗ 10-11 Класс Номер 32.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = sinx на отрезке:

а) $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$

б) $\left[2\pi; \frac{8\pi}{3}\right]$

в) $\left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$

г) $\left[6\pi; \frac{26\pi}{3}\right]$

Дана функция: $y = \sin x$;
Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Производная функции:
$y'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;

Стационарные точки:
$\cos x = 0$;
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

а) На отрезке $\left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$:
$y(0) = \sin 0 = 0$;
$y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
$y\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} = 1$

б) На отрезке $\left[2\pi; \frac{8\pi}{3}\right]$:
$y(2\pi) = \sin 2\pi = \sin 0 = 0$;
$y\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
$y\left(\frac{8\pi}{3}\right) = \sin \frac{8\pi}{3} = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} = 1$

в) На отрезке $\left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$:
$y(-2\pi) = \sin(-2\pi) = \sin 0 = 0$;
$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
$y\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \, y_{\text{наиб}} = 1$

г) На отрезке $\left[6\pi; \frac{26\pi}{3}\right]$:
$y(6\pi) = \sin 6\pi = \sin 0 = 0$;
$y\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \sin \frac{13\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
$y\left(\frac{15\pi}{2}\right) = \sin \frac{15\pi}{2} = \sin \frac{3\pi}{2} = -1$;
$y\left(\frac{17\pi}{2}\right) = \sin \frac{17\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$;
$y\left(\frac{26\pi}{3}\right) = \sin \frac{26\pi}{3} = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $y_{\text{наим}} = -1; \, y_{\text{наиб}} = 1$

Дана функция: $y = \sin x$

1. Область определения

Функция синуса $\sin x$ определена при всех $x \in \mathbb{R}$. На любом конечном отрезке она также определена.

2. Производная

Найдём производную:

$$y'(x) = (\sin x)’ = \cos x$$

Чтобы найти экстремумы, нужно найти стационарные точки, где $y'(x) = 0$, т.е.:

$$\cos x = 0$$

Решение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

а) На отрезке $\left[0; \frac{2\pi}{3} \right]$

Проверим, есть ли стационарные точки на этом отрезке:

Ищем $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, которые попадают в отрезок.
При $n = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} \in \left[0; \frac{2\pi}{3}\right]$$

Подходит.

Находим значения функции в концах и в стационарной точке:

$$y(0) = \sin 0 = 0$$ $$y\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$y\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Сравниваем значения:

Минимум: $y = 0$, максимум: $y = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$

б) На отрезке $\left[2\pi; \frac{8\pi}{3} \right]$

Ищем стационарные точки:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \in \left[2\pi; \frac{8\pi}{3} \right]$$

Найдём возможные значения:

При $n = 3$: $x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \approx 11$, это больше $\frac{8\pi}{3} \approx 8.38$ — не подходит

При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi \approx 7.85 \in \left[2\pi; \frac{8\pi}{3}\right]$ — подходит

Вычисляем значения функции:

$$y(2\pi) = \sin 2\pi = 0$$ $$y\left( \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$y\left( \frac{8\pi}{3} \right) = \sin \frac{8\pi}{3} = \sin \left(2\pi + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Сравниваем значения:

Минимум: $y = 0$, максимум: $y = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$

в) На отрезке $\left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3} \right]$

Ищем стационарные точки:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

При $n = -3$: $x = \frac{\pi}{2} — 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \notin \left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$ — не подходит

При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{2} — 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \in \left[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}\right]$ — подходит

Находим значения функции:

$$y(-2\pi) = \sin(-2\pi) = 0$$ $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \sin \left( -\frac{3\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1$$ $$y\left(-\frac{4\pi}{3}\right) = \sin \left( -\frac{4\pi}{3} \right) = -\sin \frac{4\pi}{3} = -\left(-\sin \frac{2\pi}{3}\right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Сравниваем:

Минимум: $y = 0$, максимум: $y = 1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$

г) На отрезке $\left[6\pi; \frac{26\pi}{3} \right]$

Ищем все стационарные точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, которые лежат в этом отрезке

Найдём границы:

$$6\pi = \frac{18\pi}{3}, \quad \frac{26\pi}{3} \text{ уже дано}$$

Промежуток: $\left[\frac{18\pi}{3}; \frac{26\pi}{3}\right]$

Переведём $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в дроби с знаменателем 3:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{3\pi + 6\pi n}{6} = \frac{\pi(3 + 6n)}{6}$$

Проверяем при $n = 3$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} = \frac{21\pi}{6} = \frac{7\pi}{2} \approx 11$$

$11 > 6\pi$, но меньше $\frac{26\pi}{3} \approx 27.2$ — подходит

Проверяем последовательные значения:

$x = \frac{13\pi}{2}, \frac{15\pi}{2}, \frac{17\pi}{2} \in [6\pi; \frac{26\pi}{3}]$

То есть, на этом отрезке:

$\frac{13\pi}{2} \Rightarrow \sin = 1$

$\frac{15\pi}{2} \Rightarrow \sin = -1$

$\frac{17\pi}{2} \Rightarrow \sin = 1$

Также смотрим границы:

$$y(6\pi) = \sin 6\pi = 0$$ $$y\left( \frac{26\pi}{3} \right) = \sin \left( \frac{26\pi}{3} \right) = \sin \left(2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Сравниваем значения:

Наибольшее значение: $y = 1$
Наименьшее значение: $y = -1$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1; \quad y_{\text{наиб}} = 1$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$
б) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$
в) $y_{\text{наим}} = 0; \quad y_{\text{наиб}} = 1$
г) $y_{\text{наим}}=-1;y_{\text{наиб}}=1$