ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите отрезок [n; n + 1], где n принадлежит N, которому принадлежит заданное число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{19}$;

в) $\sqrt[4]{52}$;

г) $\sqrt[3]{63}$

Найти отрезок $[n; n + 1]$, которому принадлежит заданное число:

а) $\sqrt{5}$;
$4 < 5 < 9$;
$2 < \sqrt{5} < 3$;
Ответ: $[2; 3]$.

б) $\sqrt[3]{19}$;
$8 < 19 < 27$;
$2 < \sqrt[3]{19} < 3$;
Ответ: $[2; 3]$.

в) $\sqrt[4]{52}$;
$16 < 52 < 81$;
$2 < \sqrt[4]{52} < 3$;
Ответ: $[2; 3]$.

г) $\sqrt[3]{63}$;
$27 < 63 < 64$;
$3 < \sqrt[3]{63} < 4$;
Ответ: $[3; 4]$.

Чтобы определить, в каком отрезке вида $[n; n+1]$ находится корень, нужно:

Знать таблицу степеней:

• Квадраты: $1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9, 4^2 = 16, 5^2 = 25, \dots$
• Кубы: $1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, \dots$
• Четвёртые степени: $1^4 = 1, 2^4 = 16, 3^4 = 81, 4^4 = 256, \dots$

Найти два соседних целых числа $n$ и $n+1$, такие что:

$$n^k < a < (n+1)^k$$

где $a$ — подкоренное число, $k$ — степень корня.

Тогда:

$$n < \sqrt[k]{a} < n + 1 \Rightarrow \sqrt[k]{a} \in [n; n+1]$$

а) $\sqrt{5}$

Это квадратный корень, то есть:

$$\sqrt[2]{5} = \sqrt{5}$$

Шаг 1. Найдём ближайшие квадраты:

$$2^2 = 4 < 5 < 9 = 3^2$$

Шаг 2. Значит:

$$2 < \sqrt{5} < 3$$

Следовательно:

$$\sqrt{5} \in [2; 3]$$

Ответ: $\boxed{[2; 3]}$

б) $\sqrt[3]{19}$

Это кубический корень.

Шаг 1. Найдём ближайшие кубы:

$$2^3 = 8 < 19 < 27 = 3^3$$

Шаг 2. Значит:

$$2 < \sqrt[3]{19} < 3$$

Следовательно:

$$\sqrt[3]{19} \in [2; 3]$$

Ответ: $\boxed{[2; 3]}$

в) $\sqrt[4]{52}$

Это корень четвёртой степени.

Шаг 1. Найдём ближайшие четвёртые степени:

$$2^4 = 16 < 52 < 81 = 3^4$$

Шаг 2. Значит:

$$2 < \sqrt[4]{52} < 3$$

Следовательно:

$$\sqrt[4]{52} \in [2; 3]$$

Ответ: $\boxed{[2; 3]}$

г) $\sqrt[3]{63}$

Это кубический корень.

Шаг 1. Найдём ближайшие кубы:

$$3^3 = 27 < 63 < 64 = 4^3$$

Шаг 2. Значит:

$$3 < \sqrt[3]{63} < 4$$

Следовательно:

$$\sqrt[3]{63} \in [3; 4]$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle [3;4]}}$