ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt[3]{x — 5} = -3$;

б) $\sqrt[4]{4 — 5x} = -2 < 0$;

в) $\sqrt[5]{2x + 8} = -1$;

г) $\sqrt[3]{7 — 4x} = 4$

Решить уравнение:

а) $\sqrt[3]{x — 5} = -3$;
$x — 5 = (-3)^5$;
$x — 5 = -27$;
$x = -22$;
Ответ: $-22$.

б) $\sqrt[4]{4 — 5x} = -2 < 0$;
Ответ: корней нет.

в) $\sqrt[5]{2x + 8} = -1$;
$2x + 8 = (-1)^5$;
$2x + 8 = -1$;
$2x = -9$;
$x = -4{,}5$;
Ответ: $-4{,}5$.

г) $\sqrt[3]{7 — 4x} = 4$;
$7 — 4x = 4^3$;
$7 — 4x = 64$;
$-4x = -57$;
$x = -14{,}25$;
Ответ: $-14{,}25$.

Если в уравнении присутствует корень:

$$\sqrt[n]{f(x)} = a,$$

то чтобы избавиться от корня, обе части нужно возвести в степень $n$:

$$f(x) = a^n$$

Важно помнить:

• Нечётная степень корня допускает отрицательное значение (например, $\sqrt[3]{-8} = -2$).
• Чётная степень корня не может быть отрицательной в области действительных чисел — уравнение в этом случае не имеет решений.

а) $\sqrt[3]{x — 5} = -3$

Шаг 1. Обе части возводим в 3-ю степень (так как корень кубический):

$$(\sqrt[3]{x — 5})^3 = (-3)^3 \Rightarrow x — 5 = -27$$

Шаг 2. Решаем линейное уравнение:

$$x = -27 + 5 = -22$$

Ответ: $\boxed{-22}$

б) $\sqrt[4]{4 — 5x} = -2$

Шаг 1. Замечаем, что слева стоит корень чётной степени (4-й).
Шаг 2. Корень четвёртой степени не может быть отрицательным:

$$\sqrt[4]{4 — 5x} \geq 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Шаг 3. В правой части уравнения стоит отрицательное число:

$$-2 < 0$$

Вывод:
Такое уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: $\boxed{\text{корней нет}}$

в) $\sqrt[5]{2x + 8} = -1$

Шаг 1. Возводим обе части в 5-ю степень:

$$(\sqrt[5]{2x + 8})^5 = (-1)^5 \Rightarrow 2x + 8 = -1$$

Шаг 2. Решаем уравнение:

$$2x = -1 — 8 = -9 \Rightarrow x = \frac{-9}{2} = -4{,}5$$

Ответ: $\boxed{-4{,}5}$

г) $\sqrt[3]{7 — 4x} = 4$

Шаг 1. Возводим обе части в 3-ю степень:

$$(\sqrt[3]{7 — 4x})^3 = 4^3 \Rightarrow 7 — 4x = 64$$

Шаг 2. Решаем линейное уравнение:

$$-4x = 64 — 7 = 57 \Rightarrow x = \frac{-57}{4} = -14{,}25$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\mathrm{14,25}}}$