ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите числа в порядке возрастания:

а) $\frac{\pi}{2};\ \sqrt[5]{-12};\ 2;\ \sqrt[6]{70}$

б) $\frac{3}{\pi};\ \sqrt[3]{\pi};\ 1;\ \sqrt[5]{-\pi}$

в) $\sqrt{2}\pi;\ \frac{\pi}{3};\ \sqrt[3]{-2};\ 2{,}5$

г) $2\pi ;\sqrt[5]{-\mathrm{0,5}};0;\sqrt[3]{200}$

Расположить числа в порядке возрастания:

а) $\frac{\pi}{2};\ \sqrt[5]{-12};\ 2;\ \sqrt[6]{70}$

Сравним данные числа:
$0 < \pi < 4 \Rightarrow 0 < \frac{\pi}{2} < 2$
$\sqrt[5]{-12} < 0$
$70 > 64 = 2^6 \Rightarrow \sqrt[6]{70} > 2$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[5]{-12};\ \frac{\pi}{2};\ 2;\ \sqrt[6]{70} }$

б) $\frac{3}{\pi};\ \sqrt[3]{\pi};\ 1;\ \sqrt[5]{-\pi}$

Сравним данные числа:
$\pi \in (3; 3{,}2) \Rightarrow \frac{3}{\pi} \in (0{,}93; 1) \Rightarrow \frac{3}{\pi} < 1$
$\pi > 1 \Rightarrow \sqrt[3]{\pi} > 1$
$\sqrt[5]{-\pi} < 0$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[5]{-\pi};\ \frac{3}{\pi};\ 1;\ \sqrt[3]{\pi} }$

в) $\sqrt{2}\pi;\ \frac{\pi}{3};\ \sqrt[3]{-2};\ 2{,}5$

Сравним данные числа:
$\sqrt{2} \approx 1{,}41,\ \pi \approx 3{,}14 \Rightarrow \sqrt{2} \cdot \pi \approx 4{,}43 \Rightarrow \sqrt{2}\pi > 2{,}5$
$\frac{\pi}{3} \approx \frac{3{,}14}{3} \approx 1{,}05$
$\sqrt[3]{-2} < 0$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[3]{-2};\ \frac{\pi}{3};\ 2{,}5;\ \sqrt{2}\pi }$

г) $2\pi;\ \sqrt[5]{-0{,}5};\ 0;\ \sqrt[3]{200}$

Сравним данные числа:
$2\pi \approx 6{,}28$
$\sqrt[5]{-0{,}5} < 0$
$\sqrt[3]{200} \in (5{,}8; 5{,}9) \Rightarrow \sqrt[3]{200} > 0$

Ответ: $\boxed{ \sqrt[5]{-0{,}5};\ 0;\ \sqrt[3]{200};\ 2\pi }$

а) $\dfrac{\pi}{2};\ \sqrt[5]{-12};\ 2;\ \sqrt[6]{70}$

Шаг 1. Оценим $\dfrac{\pi}{2}$
Поскольку $\pi \approx 3{,}14$,

$$\dfrac{\pi}{2} \approx \dfrac{3{,}14}{2} = 1{,}57$$

Значит, $0 < \dfrac{\pi}{2} < 2$

Шаг 2. Оценим $\sqrt[5]{-12}$
Так как степень нечетная, значение сохраняет знак.

$$\sqrt[5]{-12} < 0$$

Шаг 3. Число 2 — целое, используем как ориентир

Шаг 4. Оценим $\sqrt[6]{70}$
Проверим шестые степени:

• $2^6 = 64$
• $3^6 = 729$

Так как $64 < 70 < 729$, то:

$$\sqrt[6]{70} \in (2; 3) \Rightarrow \sqrt[6]{70} > 2$$

Итоговое сравнение:

$$\sqrt[5]{-12} < 0 < \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2 < \sqrt[6]{70}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[5]{-12};\ \dfrac{\pi}{2};\ 2;\ \sqrt[6]{70} }$$

б) $\dfrac{3}{\pi};\ \sqrt[3]{\pi};\ 1;\ \sqrt[5]{-\pi}$

Шаг 1. Оценим $\dfrac{3}{\pi}$

$$\pi \approx 3{,}14 \Rightarrow \dfrac{3}{\pi} \approx \dfrac{3}{3{,}14} \approx 0{,}955 \Rightarrow 0{,}5 < \dfrac{3}{\pi} < 1$$

Шаг 2. Оценим $\sqrt[3]{\pi}$

$$\pi > 1 \Rightarrow \sqrt[3]{\pi} > \sqrt[3]{1} = 1 \Rightarrow \sqrt[3]{\pi} > 1$$

Шаг 3. Число 1 — ориентир между предыдущими

Шаг 4. Оценим $\sqrt[5]{-\pi}$

$$\pi > 0 \Rightarrow \sqrt[5]{-\pi} < 0$$

Итоговое сравнение:

$$\sqrt[5]{-\pi} < 0 < \dfrac{3}{\pi} \approx 0{,}955 < 1 < \sqrt[3]{\pi}$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[5]{-\pi};\ \dfrac{3}{\pi};\ 1;\ \sqrt[3]{\pi} }$$

в) $\sqrt{2}\pi;\ \dfrac{\pi}{3};\ \sqrt[3]{-2};\ 2{,}5$

Шаг 1. Оценим $\sqrt{2} \cdot \pi$

$$\sqrt{2} \approx 1{,}41;\quad \pi \approx 3{,}14 \Rightarrow \sqrt{2}\pi \approx 1{,}41 \cdot 3{,}14 \approx 4{,}43$$

Шаг 2. Оценим $\dfrac{\pi}{3}$

$$\dfrac{3{,}14}{3} \approx 1{,}05$$

Шаг 3. $\sqrt[3]{-2}$

$$\sqrt[3]{-2} < 0$$

Шаг 4. 2,5 — ориентир между остальными

Итоговое сравнение:

$$\sqrt[3]{-2} < 0 < \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}05 < 2{,}5 < \sqrt{2}\pi \approx 4{,}43$$

Ответ:

$$\boxed{ \sqrt[3]{-2};\ \dfrac{\pi}{3};\ 2{,}5;\ \sqrt{2}\pi }$$

г) $2\pi;\ \sqrt[5]{-0{,}5};\ 0;\ \sqrt[3]{200}$

Шаг 1. $2\pi \approx 2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28$

Шаг 2. $\sqrt[5]{-0{,}5} < 0$ — степень нечётная, знак сохраняется.

Шаг 3. Ноль — ориентир между положительным и отрицательным.

Шаг 4. Оценим $\sqrt[3]{200}$
Проверим кубы:

• $5^3 = 125$
• $6^3 = 216$
  Значит: $125 < 200 < 216 \Rightarrow \sqrt[3]{200} \in (5; 6)$

Итоговое сравнение:

$$\sqrt[5]{-0{,}5} < 0 < \sqrt[3]{200} \in (5; 6) < 2\pi \approx 6{,}28$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \sqrt[5]{-\mathrm{0,5}};0;\sqrt[3]{200};2\pi }}$$