ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что верно равенство:

а) $\sqrt{361} = 19$;

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$;

в) $\sqrt[3]{343} = 7$;

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$

Доказать, что верно равенство:

а) $\sqrt{361} = 19$;

Верно следующее:
$19 > 0$;
$19^2 = 361$;
Что и требовалось доказать.

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$;

Верно следующее:
$\frac{1}{2} > 0$;
$\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64}$;
Что и требовалось доказать.

в) $\sqrt[3]{343} = 7$;

Верно следующее:
$7 > 0$;
$7^3 = 343$;
Что и требовалось доказать.

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$;

Верно следующее:
$\frac{2}{3} > 0$;
$\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$;
Что и требовалось доказать.

Чтобы доказать, что:

$$\sqrt[n]{a} = b,$$

нужно показать следующее:

1. Число $b > 0$ (если это корень чётной степени);
2. $b^n = a$.

Если эти условия выполняются, то равенство верно.

а) $\sqrt{361} = 19$

Это корень второй степени, так как степень не указана — значит:

$$\sqrt{361} = \sqrt[2]{361}$$

Шаг 1. Проверим, что правая часть положительна:

$$19 > 0 \quad \text{(так как положительное число)}$$

Шаг 2. Возведём 19 во 2-ю степень:

$$19^2 = 19 \times 19 = 361$$

Вывод:
Так как $19 > 0$ и $19^2 = 361$, то:

$$\sqrt{361} = 19$$

Что и требовалось доказать.

б) $\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$

Это корень шестой степени:

$$\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$$

Шаг 1. Проверим, что правая часть положительна:

$$\frac{1}{2} > 0 \quad \text{(положительная дробь)}$$

Шаг 2. Возведём $\frac{1}{2}$ в шестую степень:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$$

Вывод:
Так как $\frac{1}{2} > 0$ и $\left( \frac{1}{2} \right)^6 = \frac{1}{64}$, то:

$$\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \frac{1}{2}$$

Что и требовалось доказать.

в) $\sqrt[3]{343} = 7$

Это корень третьей степени:

$$\sqrt[3]{343} = 7$$

Шаг 1. Проверим, что правая часть положительна:

$$7 > 0 \quad \text{(целое положительное число)}$$

Шаг 2. Возведём 7 в третью степень:

$$7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343$$

Вывод:
Так как $7 > 0$ и $7^3 = 343$, то:

$$\sqrt[3]{343} = 7$$

Что и требовалось доказать.

г) $\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$

Это корень пятой степени:

$$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$$

Шаг 1. Проверим, что правая часть положительна:

$$\frac{2}{3} > 0 \quad \text{(положительная дробь)}$$

Шаг 2. Возведём $\frac{2}{3}$ в пятую степень:

$$\left( \frac{2}{3} \right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$$

Вывод:
Так как $\frac{2}{3} > 0$ и $\left( \frac{2}{3} \right)^5 = \frac{32}{243}$, то:

$$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$$

Что и требовалось доказать.