ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Объясните, почему неверно равенство:

а) $\sqrt{25} = -5$;

б) $\sqrt[4]{-64} = -2$;

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2$;

г) $\sqrt[4]{625} = -25$

Объяснить, почему неверно равенство:

а) $\sqrt{25} = -5$;
Показатель корня – четное число;
Значение выражения не может быть отрицательным;

б) $\sqrt[4]{-64} = -2$;
Показатель корня – четное число;
Значение выражения не может быть отрицательным;
Подкоренное выражение не может быть отрицательным;

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2$;
Равносильное равенство: $\sqrt[3]{-8} = 2$;
Показатель корня – нечетное число;
Подкоренное выражение имеет отрицательное значение;
Значение выражения не может быть положительным;

г) $\sqrt[4]{625} = -25$;
Показатель корня – четное число;
Значение выражения не может быть отрицательным

Корень степени $n$ из числа $a$ обозначается как

$$\sqrt[n]{a}$$

Важно знать:

Если $n$ — чётное число (например, 2, 4, 6…), то:

• Корень существует только для неотрицательных подкоренных выражений: $a \geq 0$
• Значение корня — только положительное число (или 0), т.е. только главный (положительный) корень

Если $n$ — нечётное число (например, 3, 5, 7…), то:

• Корень можно извлекать из любого числа, в том числе и отрицательного.
• Результат может быть отрицательным или положительным, в зависимости от знака подкоренного выражения.

а) $\sqrt{25} = -5$

Шаг 1. Определим тип корня.
Записано $\sqrt{25}$, а значит это корень второй степени:

$$\sqrt{25} = \sqrt[2]{25}$$

Шаг 2. Показатель корня — чётное число (2).
По правилу, если корень чётной степени существует, то он:

• Извлекается только из неотрицательных чисел
• Даёт только положительный результат

Шаг 3. Найдём правильное значение:

$$\sqrt{25} = 5, \quad \text{а не } -5$$

Шаг 4. Почему выражение неверно:

• $-5 < 0$
• Значение корня второй степени не может быть отрицательным

Вывод:
Равенство $\sqrt{25} = -5$ неверно, потому что:

• Показатель корня — чётное число;
• Значение корня не может быть отрицательным.

б) $\sqrt[4]{-64} = -2$

Шаг 1. Показатель корня — четное число (4).

Шаг 2. Подкоренное выражение — отрицательное:

$$-64 < 0$$

Шаг 3. По определению:

• Корень чётной степени не существует для отрицательных чисел в области действительных чисел;
• То есть:

  $$\sqrt[4]{-64} \quad \text{не определено в } \mathbb{R}$$

Шаг 4. Даже если бы существовал результат, он не может быть отрицательным.

Вывод:
Равенство $\sqrt[4]{-64} = -2$ неверно, потому что:

• Показатель корня — чётное число;
• Подкоренное выражение — отрицательное (что недопустимо);
• Значение выражения не может быть отрицательным.

в) $-\sqrt[3]{-8} = -2$

Шаг 1. Показатель корня — нечётное число (3).

Шаг 2. Корень третьей степени можно извлекать из отрицательных чисел.

$$\sqrt[3]{-8} = -2$$

Шаг 3. Исходное выражение:

$$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$$

Шаг 4. Сравнение с правой частью:
В примере написано:

$$-\sqrt[3]{-8} = -2$$

А на самом деле:

$$-\sqrt[3]{-8} = -(-2) = 2$$

Шаг 5. Почему выражение неверно:

• Корень третьей степени из $-8$ равен $-2$
• Перед знаком корня стоит отрицание, поэтому результат будет $-(-2) = 2$
• Значение получается положительным, а в равенстве стоит отрицательное число

Вывод:
Равенство $-\sqrt[3]{-8} = -2$ неверно, потому что:

• Левая часть равна $2$, а не $-2$
• Значение выражения не может быть положительным, если справа написано отрицательное число.

г) $\sqrt[4]{625} = -25$

Шаг 1. Показатель корня — чётное число (4).

Шаг 2. Подкоренное выражение: $625 > 0$ — извлекать корень можно.

Шаг 3. Найдём корень четвёртой степени из 625:

$$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$$

Шаг 4. Почему выражение неверно:

• $\sqrt[4]{625}$ даёт положительное значение: 5
• В равенстве написано -25, что отрицательно

Вывод:
Равенство $\sqrt[4]{625} = -25$ неверно, потому что:

• Показатель корня — чётное число;
• Значение выражения не может быть отрицательным;
• Правильный результат: $\sqrt[4]{625}=5$