ГДЗ 10-11 Класс Номер 33.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = 2 — \sqrt{3}$;

б) $\sqrt{14 — 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 3$;

в) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} — 2$;

г) $\sqrt{15 — 6\sqrt{6}} = 3 — \sqrt{6}$

Выяснить, верно ли равенство:

а) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = 2 — \sqrt{3}$;

Верно следующее:
$4 > 3 \Rightarrow 2 > \sqrt{3} \Rightarrow 2 — \sqrt{3} > 0$;
$(2 — \sqrt{3})^2 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 = 7 — 4\sqrt{3}$;
Ответ: да.

б) $\sqrt{14 — 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 3$;

Верно следующее:
$5 < 9 \Rightarrow \sqrt{5} < 3 \Rightarrow \sqrt{5} — 3 < 0$;
Ответ: нет.

в) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} — 2$;

Верно следующее:
$3 < 4 \Rightarrow \sqrt{3} < 2 \Rightarrow \sqrt{3} — 2 < 0$;
Ответ: нет.

г) $\sqrt{15 — 6\sqrt{6}} = 3 — \sqrt{6}$;

Верно следующее:
$9 > 6 \Rightarrow 3 > \sqrt{6} \Rightarrow 3 — \sqrt{6} > 0$;
$(3 — \sqrt{6})^2 = 9 — 6\sqrt{6} + 6 = 15 — 6\sqrt{6}$;
Ответ: да.

Цель — выяснить, верно ли равенство вида

$$\sqrt{a — b\sqrt{c}} = x$$

Для этого нужно:

1. Проверить, что правая часть положительна (ведь корень не может быть отрицательным).
2. Возвести правую часть в квадрат и сравнить с выражением под корнем.

а) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = 2 — \sqrt{3}$

Шаг 1: Проверим знак правой части

Нужно убедиться, что $2 — \sqrt{3} > 0$, иначе равенство не может быть верным.

• Известно, что $\sqrt{3} \approx 1.732$
• Значит: $2 — \sqrt{3} \approx 2 — 1.732 = 0.268 > 0$
  Или формально:

$$4 > 3 \Rightarrow 2 > \sqrt{3} \Rightarrow 2 — \sqrt{3} > 0$$

Шаг 2: Возведём правую часть в квадрат

$$(2 — \sqrt{3})^2 = 2^2 — 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 = 7 — 4\sqrt{3}$$

Шаг 3: Сравним с выражением под корнем

Под корнем слева: $7 — 4\sqrt{3}$
Результат справа после возведения в квадрат: $7 — 4\sqrt{3}$

Они совпадают.

Вывод:
Равенство верно.

Ответ: да.

б) $\sqrt{14 — 6\sqrt{5}} = \sqrt{5} — 3$

Шаг 1: Проверим знак правой части

Посчитаем примерное значение:

• $\sqrt{5} \approx 2.236$
• $\sqrt{5} — 3 \approx 2.236 — 3 = -0.764$

Правильное математическое рассуждение:

$$5 < 9 \Rightarrow \sqrt{5} < 3 \Rightarrow \sqrt{5} — 3 < 0$$

→ Правая часть отрицательна, а корень не может быть равен отрицательному числу.

Вывод:
Равенство неверно, потому что правая часть < 0

Ответ: нет.

в) $\sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{3} — 2$

Шаг 1: Проверим знак правой части

• $\sqrt{3} \approx 1.732$
• $\sqrt{3} — 2 \approx 1.732 — 2 = -0.268$

Формально:

$$3 < 4 \Rightarrow \sqrt{3} < 2 \Rightarrow \sqrt{3} — 2 < 0$$

→ Правая часть отрицательна, а значение корня не может быть отрицательным.

Вывод:
Равенство неверно

Ответ: нет.

г) $\sqrt{15 — 6\sqrt{6}} = 3 — \sqrt{6}$

Шаг 1: Проверим знак правой части

• $\sqrt{6} \approx 2.449$
• $3 — \sqrt{6} \approx 3 — 2.449 = 0.551 > 0$

Или формально:

$$9 > 6 \Rightarrow 3 > \sqrt{6} \Rightarrow 3 — \sqrt{6} > 0$$

Шаг 2: Возведём правую часть в квадрат

$$(3 — \sqrt{6})^2 = 3^2 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 9 — 6\sqrt{6} + 6 = 15 — 6\sqrt{6}$$

Шаг 3: Сравним с выражением под корнем

Под корнем слева: $15 — 6\sqrt{6}$
Результат справа после возведения в квадрат: $15 — 6\sqrt{6}$

Совпадают.

Вывод:
Равенство верно

Ответ: да.